Beiträge von Kalle66 im Thema „elliptisch, rund, parabolisch und hyperbolisch“

Etwas Schulmathematik ...

Eine Parabel ist allein über die Brennweite mathematisch bereits definiert.

Als Funktion ist eine Parabel definiert mit

$f(x) = a x^{2}$

wobei ich hier auf reine Verschiebungen im Koordinatennetz entlang der x-Achse oder y-Achse jetzt verzichte, ebenfalls auf Drehungen im System. Das kann man durch Koordinatentransformation eliminieren. Vorsicht beim Funktionsbegriff, eine liegende Parabel wäre mathematisch keine Funktion, man müsste die Parabeläste dann getrennt behandeln.

Der Brennpunkt F ist definiert mit

$F = \frac{1}{4a}$

Das heißt die Parabel kann eindeutig über den Funktionsparameter a oder der Brennweite F definiert werden, wenn man Lage, Drehung außen vor lässt.

Für einen Parabolspiegel braucht man jetzt noch eine Angabe, welchen Teil einer Parabel man meint. Symmetrisch um Spiegelachse (y-Achse) reicht dazu die Öffnung oder das Öffnungsverhältnis (zur Brennweite). Bei asymmetrischer (off-Axis) Nutzung braucht man zwei Angaben.

Gleiches gilt für einen Kreis: Da braucht man nur den Radius, um ihn eindeutig zu definieren. (Brennweite eines Kreises wäre als halber Radius definiert.)

Für eine Ellipse braucht man zwei Werte, z.B. beide Halbachsen oder eine Halbachse und das Verhältnis der Halbachsen (Exzentrizität).

Eine Gerade braucht keinen Parameter. Erst wenn man die Lage/Richtung festlegen will, braucht man zwei Punkte oder Punkt + Steigung.

Aber ich möchte noch eine Besonderheit erwähnen: Ein Hobby-Spiegelschleifer legt sich zunächst gar nicht endgültig fest, welche Parabelbrennweite er anstrebt. Er ist bereit, dass dieser Wert sich (in Grenzen) erst beim Polieren/Parabolisieren ergibt. Das führt dazu, dass er sich eine Menge Arbeit ersparen kann, denn er will nicht "die" Parabel in seinem Spiegel, sondern nur "eine" Parabel. Das kann manchmal verwirren, denn "eine" Parabel (mit abweichender Brennweite) führt mitunter zu ganz anderen Zonenkorrekturen im Vergleich zu einem Kreis (Sphäre), als wenn man "die" Parabel haben möchte. Und im Grunde begnügt er sich via "best fit conic constant" sogar nur mit einer Form, die einer Parabel nahe kommt.

Quilty,

jede Parabel ist zueinander "ähnlich" und kann mit einem einzigen Parameter beschrieben werden, z.B. der Parabelbrennweite.

Für die Optische Anwendung braucht man noch einen zweiten Parameter, nämlich wie viel man von der Parabel nutzt, z.B. via Öffnungszahl.

Und bei Ellipsen als Grundform in der Optik werden durchgehend nur Teilstücke gewählt, bevor sich die Ellipse schließt.

Aber es gibt auch Ausnahmen:
Da Ellipsen zwei Brennpunkte haben kann man damit wunderbar über nahe Distanzen von einem Brennpunkt in den anderen abbilden. Die Parabel schafft das nicht im Makrobereich.

Folgender Artikel beschreibt die Werte für die konische Konstante k eines Dall-Kirkham-Designs

Dall-Kirkham telescope

so zwischen -0,6 bis -0,8 für den Primärspiegel.

Die konische Konstante k ergibt sich via folgender Formel für Kegelschnitte:

$y^{2} - 2Rx + (k + 1)x^{2} = 0$

mit R = Krümmungsradius im Nullpunkt

mit k = konische Konstante

Da es inzwischen viele Modifizierungen des DK-Designs gibt und die Form des Primärspiegels für den konkreten Fall optimiert werden muss, macht es keinen Sinn, darüber zu diskutieren, solange man nicht konkret wird. Erst recht hilft es nicht, auf andere Formen zu verweisen, nach dem Motto: Wenn die Öffnung langsam genug ist, reicht auch eine Sphäre, denn das gilt für alle Teleskope.

Quilty,

mein Gedächtnis ist nicht so gut, dass ich nachvollziehen könnte, worauf du dich jetzt beziehst. Insofern verwirrt mich jetzt Dein Beitrag.

Aber vielleicht folgender Hinweis:

Wenn ein Design eine bestimmte asphärische Form verlangt, dann hat es wohl seinen Grund und dann hilft ein Hinweis, dass der Unterschied zu einer anderen Form nur minimal ist, ganz und gar nicht.

Ich verwende die Begriffe prolat und oblat jetzt so selten, dass ich erst nachschlagen muss, ob ein Ei im Eierbecher prolat oder oblat ausgelöffelt wird. Ok, hab nachgeschlagen: Nennt man prolat. Wobei hier oblat eh der falsche Begriff wäre, das wäre kein Ei mehr, sondern eher linsenförmig.

Zum Design asphärischer Flächen fällt mir folgender Youtubebeitrag ein:

Making Monolithic Telescopes Part 1: Optical Design and Aspherics.

Der Autor beschreibt genau und verständlich, wie man asphärische Flächen mathematisch richtig beschreibt. Die konische Konstante ist da nur der Anfang.