Hier der Strahlengang eines Fernglases oder Teleskops.
und hier die zwei Winkel, welche die Vergrößerung ergeben. Denn Vergrößerung wird definiert als Verhältnis dieser beiden Winkel.
Der linke Winkel ist der, unter der zwei Sterne oder die Größe eines Objekts ohne Teleskop zu sehen ist. Der rechte Winkel, wie er im Auge mit Teleskop erscheint.
Der Rest ist Mittelstufen-Mathematik: Strahlensatz, ähnliche Dreiecke und Verhältnisrechnung, wenn man das Verhältnis der Winkel für "kleine Winkel" dadurch vereinfacht, dass sin φ = φ ist. Dazu gibt man den Winkel in Radiant an mit 360° = 2π (Umfang des Einheitskreises). Heraus kommt dann, dass das Verhältnis der beiden Winkel gleich dem Brennweitenverhältnis von Okular und Objektiv entspricht.
In der Realität gilt die Vergrößerung nur auf der optischen Achse selbst (also superkleine Winkel rund um die Bildmitte) und weniger am Bildrand, denn viele Geräte zeigen am Bildrand eine kleinere Vergrößerung. Umgangssprachlich spricht man von Bildverzeichnung. Und die nimmt man für die meisten Einsatzzwecke zugunsten eines größeren Blickfeldes/Sehfeldes gerne in Kauf.
PS:
Gemalt hatte ich die Bilder mal vor längerer Zeit mit dem Mathe-Grafik-Tool von https://www.geogebra.org. Und dabei war ich dann zu faul, Linienlängen zu begrenzen, so dass die eine oder andere Linie sich bis zum Zeichenrand verlängert. Es gelten die für "dünne Linsen" bekannten Regeln zur Konstruktion der Linsenabbildungen, wie man es in der Schule auch lernt. Damit könnte man selbst das scheinbare Gesichtsfeld eines (einfachen) Okulars erklären, indem man die Feldblende des Okulars im Bild auf der Fokusebene einzeichnet und zum Dreieck auf die in den Bildern unbenannte Linie im Abstand der Okularbrennweite erweitert.
Im nachfolgenden Bild habe ich für ein "einfaches" Okular die Feldblende und das scheinbare Gesichtsfeld (sGF) eingezeichnet.
Auch hier kann man zeigen, dass das wahre Gesichtsfeld sich aus sGF geteilt durch die Vergrößerung ergibt. Grafisch hilft einem dabei die Überlegung, die ich auf nachfolgender Skizze aufzeigen möchte.
Um den gesamten Himmel 360° zu sehen, dreht man das Teleskop einmal im Kreis und zwar mit dem Objektiv in der Kreismitte. Das Abbild vom Objektiv landet dann auf einem Kreis, dessen Radius die Objektivbrennweite ist. Auf der Kreislinie kann man jeweils nur sehen, was die Feldblende gerade durchlässt. Da diese bezogen auf den Kreis sehr klein ist, kann man das Abbild innerhalb der Feldblende als eben und nicht gekrümmt vereinfachen. Es geht dann nur noch um die Frage: Wie oft passt die Feldblende auf den Kreisumfung.
Das Schöne ist, dass man so ohne Sinus/Tangens, allein über Verhältniszahlen, das ausrechnen kann.
