Hallo Dieter,
man muss unterscheiden zwischen der (intrinsischen) Krümmung eines Raums (Riemannsche Mannigfaltigkeit) an sich und der (extrinsischen) Krümmung als Teilraum (Untermannigfaltigkeit) in einem höher-dimensionalen Raum.
Was du beschrieben hast, z.B. Krümmung einer Kurve in einer Fläche oder einer Fläche in einem 3-dimensionalen Raum, ist der zweite Fall.
In der Riemannschen Geometrie, wie in der Allgemeinen Relativitätstheorie, betrachtet man den ersten Fall, d.h. die intrinsische Krümmung einer Mannigfaltigkeit, ohne dass sie in einer höher-dimensionalen Mannigfaltigkeit eingebettet ist. Es erfordert einigen mathematischen Aufwand, um das zu definieren (Riemannsche Geometrie), aber man kann die Krümmung (Riemannscher Krümmungstensor) letztlich daraus konstruieren, wie man Abstände und Winkel in diesem Raum misst (Riemannsche Metrik). Dafür muss man den Raum selbst nicht verlassen.
In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Mannigfaltigkeit die 4-dimensionale Raumzeit und die Metrik eine Lorentzmetrik. Die Krümmung dieser Raumzeit bzw. der Metrik ist also definiert, ohne dass die Raumzeit in einem höher-dimensionalen Raum eingebettet ist, was in der klassischen ART auch nicht der Fall ist.
Viele Grüße
Mark
