Hallo Günter,
danke für den Hinweis, die Weyl-Lösungen kannte ich nicht. Eine Online-Referenz, die ich gefunden habe, ist Abschnitt 6.1 in https://arxiv.org/abs/gr-qc/0004016 Die Weyl-Lösungen sind Vakuum-Lösungen (Ricci-Tensor = 0), aber haben konstante Krümmung (Riemann-Tensor = 0) nur in Spezialfällen.
Viele Grüße
Mark
Hallo Günter,
ja, es gibt nur drei (einfach-zusammenhängende, vollständige) Vakuum-Lösungen mit konstanter Raumzeit-Krümmung (s. den Google Books Link oben):
Lambda = 0: Minkowski
Lambda > 0: de Sitter
Lambda < 0: anti-de Sitter
D.h. wenn man annimmt, dass die Raumzeit-Krümmung konstant ist, ist die Raumzeit-Metrik durch die kosmologische Konstante Lambda bestimmt (die Schwarzschild-Lösung ist z.B. auch eine Vakuum-Lösung mit Lambda=0, aber nicht mit konstanter Krümmung).
Diese Raumzeiten kann man in verschiedener Weise in Raum und Zeit aufspalten (d.h. ein Koordinatensystem wählen), wobei der Raum mit der induzierten Metrik auch konstante Krümmung haben kann, z.B. die Minkowski-Metrik in einen Raum mit k=0 (euklidisch) oder mit k=-1 (hyperbolisch). Man bekommt dann die von dir erwähnte Blätterung (foliation) der Raumzeit.
Viele Grüße
Mark
Hallo Günter,
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: GünterD</i>
unter 4.6.4 Empty Universe wird das leere Universum mit H > 0, rho = 0, Lambda = 0 und k = -1 (hyperbolische Geometrie) beschrieben. Wie kommst du auf H = 0, k = 0 und a(t) = const.?
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
Das stimmt, das war vielleicht etwas missverständlich. Gleichung (4.54) in Abschnitt 4.6.4 hat die von dir genannte Lösung und die Lösung H_0=0, a(t)=const. (die dort nicht genannt wird).
Genauer gesagt folgt Gleichung (4.54) aus der ersten Friedmann Gleichung (4.21) durch die Implikationen
(4.21) -- > (4.26) --> (4.28) --> (4.36) --> (4.54)
Wenn man die erste Friedmann Gleichung zusammen mit der Skalierung von rho_m, rho_r, rho_Lambda in Abhängigkeit von a(t) hat, braucht man die zweite Friedmann Gleichung nicht (s. Absatz am Ende von Abschnitt 4.2).
H=0 (d.h. a(t)=const.), rho_m=rho_r=rho_Lambda=0 und k=0 ist eine Lösung der ersten Friedmann Gleichung in der Form (4.26).
Eine Referenz ist noch:
Tevian Dray, Differential Forms and the Geometry of General Relativity, Abschnitt 9.7
Google Books Link:
https://books.google.se/books?…edmann%20equation&f=false
Viele Grüße
Mark
Hallo Günter,
die Minkowski-Raumzeit ist schon eine Lösung der Vakuum-Feldgleichungen (rho=0, p=0, Lambda=0). In dem Fall ist der Raum flach (k=0) und die Raumzeit ist auch flach. Die Hubble-Konstante ist H=0 und der Skalenfaktor a(t)=const.
Allerdings gibt es in der Minkowski-Raumzeit keinen Urknall, d.h. keinen Zeitpunkt mit a=0. Wenn man annimmt, dass es einen Zeitpunkt t=0 mit a=0 gibt, bekommt man deine Lösung mit k=-1 und a(t)=H_0*t, H_0 ungleich Null. Allerdings ist auch k=0, H_0=0 und a(t)=const. (ungleich 0) eine Lösung. Siehe Abschnitt 4.6.4 Empty Universe in dieser Referenz:
http://www.ita.uni-heidelberg.…mology_2011/Chapter_4.pdf
Die von dir erwähnte Gleichung
(rho+ rho_Lambda)/rho_kritisch = 1 (*)
bei k=0, die mit H=0 zu 0/0=1 führt, ist ursprünglich
H^2 = (1/3)*(8*pi*G)*(rho+ rho_Lambda) - kc^2/a^2 (**)
siehe Gleichung (4.26) in der Referenz oben.
Wenn k=0 ist und H nicht 0, bekommt man mit
rho_kritisch = 3H^2/(8*pi*G)
genau die von dir erwähnte Gleichung (*). Aber k=0, H=0, rho=rho_Lambda=0 ist ebenfalls eine Lösung von (**).
Viele Grüße
Mark
