Hallo Micha
Hallo Rainer,
die von der mitgeführten Lichtquelle ausgehenden und von der Zone des Spiegels zurückreflektierten Strahlen schneiden also die optische Achse bei S = Ro + r^2/(2*Ro) oberhalb des Scheitelpunktes. Der Abstand zwischen S und Zonenposition wäre dann ja der Radius des Näherungskreises. Den wollen wir herleiten. Könnte man über Pythagoras machen, wenn man irgendwie ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren könnte:
Sehr gut , genau das machen wir jetzt :
Dazu folgende Zeichnung :
Die Bedingungen für den Pythagoras hast Du schon genannt , das rechtwincklige Dreieck .
Die eine Kathete = Ro hast Du schon berechnet . Zur bessern Übersicht wiederhole ich das noch mal .
Wir gehen vom Ursprung der Parabel um die Strecke r^2/ (2*Ro) nach oben .
Wenn wir von diesem Punkt (nennen wir ihn P )um die Strecke Ro nach oben gehen landen wir beim Schnittpunkt S .
Die Länge unser ersten Kathete ist damit Ro .
Gehen wir von P waagerecht bis wir die Parabel berühren landen wir genau nach der Länge r auf der Parabel .
Für die Parabel gilt : Y = X^2 / (2*Ro) .
In der Zeichnung ist Y die Höhe und x die waagerechte Koordinate r .
Die Höhe der Parabelkurve ist genau so groß wie der Therm r^2/(2*Ro9 aus der Schnittweitenrechnung .
Unsere zweite Kathete ist damit r :
Daraus folgt dann der Pythagoras : Rs = (Ro^2 + r^2)^1/2
oder zum besseren Vergleich r^2 um Ro^2/Ro^2 erweitert und Ro aus der Wurzel gezogen : Rs = Ro * ( 1+r^2/Ro^2)^1/2
Rechnen wir mal dieses Beispiel : Parabol. Spiegel D =400mm , f 4 , Rand also : r = 200mm , Ro = 3200mm
Radienunterschied : Rk - Rs = delta = 12,5 mm
Im Beispiel liegt der Schnittpunkt S mit 12,5mm schon so weit innerhalb der Zonenradien das beim
Berührungskreis die Bezeichnung Näherungskreis für die optische Abildung irreführend ist .
Mit Näherungskreis würde ich den Kreis mit dem Krümmungradius der Zonenmitte bezeichnen ,
weil er die Kurve der Zone viel besser anähert .
Oha, ich dache, die Parabel müsste im Scheitelpunkt so wie in der Skizze außer halb der Berührungskreise liegen. Wahrscheinlich dachte ich das deshalb so, weil historisch der Parabolspiegel doch deshalb erfunden wurde, damit die sphärische Aberration des bis dahin einfach herstellbaren Kugelspiegels idealerweise korrigiert wird, indem der Parabelscheitelpunkt eine weitere Brennweite hat als ein Kugelspiegel bei gleichem Zonendurchmesser. Das habe ich mir wohl gründlich falsch vorgestellt.
Die Gleichung der Spiegelkurve läßt sich einfach aus der Laufstreckenbedingung herleiten :
"Alle Laufstrecken einer ebenen Wellenfront bis zum Fokus müßen gleich lang sein ."
Versuchs mal , ist nicht besonders schwierig .
Gruß Rainer