Schwerpunkt Parabolspiegel

Hallo Bernie,
der Schwerpunkt eines Rotationsparaboloiden liegt bei 2/3h vom Scheitel gemessen. Anders herum also 1/3 der Sagitta h.
Gruß

PS: Für die Schwerpunktberechnung brauchst Du noch das Volumen des Paraboloiden = h/2*r*r*pi sowie eines Zylinders = d*r*r*pi (d=Dicke des Glasscheibe)

Vorgehensweise:

Spiegel s + Paraboloid p ergibt Zylinder z (=Spiegelscheibe)
Lage Schwerpunkt Zylinder Xz = 0 (Spiegelmitte als Referenz)
Lage Schwerpunkt Paraboloid Xp = d/2-h/3 (Mitte zum Rand minus 1/3 Sagitta)

Es gilt Xz = (Xp*Mp+Xs*Ms)/(Mp+Ms) (Gemeinsamer Schwerpunkt zweier Massen und der liegt praktisch auf 0)
Daraus wird der Schwerpunkt des Spiegels gesucht:
Xs = -Xp *(Mp/Ms)

Die Massen ergeben sich aus dem Volumen. Daraus lassen sich noch die Kreisflächen herauskürzen:
Xs = -(d/2-h/3)*(h/(2d-h)

(Der Wert ist negativ, da die Spiegelmitte als Referenz gesetzt wurde und die Positive Achse Richtung Spiegelvorderseite angenommen wurde.) Zur Spiegelkante also um d/2 verschieben.)

Ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht verrechnet [:)]

Gruß

Hi,

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Bernie4321</i>
<br />Hier im Astrotreff wurde schon mal eine Formel zur Berechnung des Schwerpunktes eines Parabolspiegels in Abhängigkeit von Öffnung, Dicke und Brennweite gezeigt. Kann mir jemand einen Link auf dieses Thema zu vergleichszwecken geben? Die Suche stürzt bei mir leider immer wieder ab.
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Der gesuchte Thread muss zu der Zeit gewesen sein, wo wir über die Round-Robin Aktion diskutiert haben. Ich finde es aber jetzt nicht mehr.
Die Formeln und Tabellen zum Schwerpunkt findest du in meiner Formelsammlung:
http://www.astro-electronic.de/faq2.htm#3

Gruss
Michael

Hallo Michael,
puh....es passt [:p]
Gruß

Hi,

&gt; ... Diese Formel war übrigens aus der aktuellen Auflage des Bronstein (Mei o mei)!!

Welche Auflage, welche Seite? Ich glaube zwar nicht dass ich die aktuelle Auflage habe (ich hab die 21. Auflage, ca. 20 Jahre alt), aber es kann nicht schaden das zu überprüfen.

&gt; Wenn ich nun den Schwerpunkt gemäß SP_z = 1/V* int,int,int z dzdydx ausrechne bekomme ich eine Formel, die irgendwie etwas anders aussieht als in deiner Formelsammlung. Der Unterschied im Ergebnis beträgt bei einer 18x1.65-Zoll Scheibe mit f/4.8 etwa 30 Mikrometer.

Was in meiner Formelsammlung steht sollte aber eigentlich die exakte Lösung sein, und ich meine wir hatten das damals auch auf zwei unterschiedlichen Lösungswegen verifiziert.

Gruss
Michael

P.S. Der Link zum alten Thread:
http://www.astrotreff.de/topic.asp?TOPIC_ID=44756

Hallo Bernhard,
die Formel ist doch ok. a, b sind die Halbachsen einer allg. Ellipse, die in der Schnittebene liegt, durch die das Volumen begrenzt wird. Im Kreisfall also a=b=Radius; h entspricht der Sagitta.
Oder andersherum: 1/2*Kreisfläche*Höhe (z.Vergleich: Pyramide 1/3*Grundfläche*Höhe, Würfel 1/1*Grundfläche*Höhe)
Gruß

Hi,

&gt; es handelt sich um das "Taschenbuch der Mathematik" von Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig, 4. Auflage 1999,

Scheinbar wurde mit der Zählung der Auflagen wieder bei 1 begonnen als die Autoren Musiol und Mühlig dazugekommen sind. Denn ich habe die 21. Auflage von 1984.

&gt; S. 219 Punkt 2: <b>Rotationsparaboloid</b>: "Für a=b erhält man ein Rotationsparaboloid, das man sich durch Rotation einer Parabel mit z=x^2/(a^2) um ihre in der x,z-Ebene liegende Achse entstanden denken kann. Der Rauminhalt eine<b>s</b> Paraboloidschale, die von einer Ebene senkrecht zur z-Achse in der Höhe h abgeschnitten wird , ist
V = 1/2 * Pi * a * b * h".

Steht in meinem Bronstein auch so drin, und ich gehe davon aus dass es richtig ist.

Gruss
Michael

Hi,

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Bernie4321</i>
<br />Die Bronstein-Formel ist unabhängig von der Brennweite der Parabel. Das kann doch so nicht stimmen[?]
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Im Bronstein steht:

V = 0.5 pi a^2 h

wobei a der Radius der Schnittfläche ist, und h ist die Höhe.

Die erzeugende Kurve ist:

z = x^2 / a^2

Und beim Parabolspiegel ist dies die erzeugende Kurve:

z = x^2 / (4 f)

wobei f die Brennweite ist.

Durch Koeffizeintenvergleich finden wir a^2 = 4f.
Die Brennweite ist also in dem "a" enthalten.

Gruss
Michael

Simpel gesagt, die Sagitta ergibt sich aus der Brennweite und dem Spiegeldurchmesser oder zu einer bestimmten Sagitta (bei gegebener Spiegelgröße) passt nur eine Parabel (mit passender Brennweite).
Tja, so einfach kann man eine Parabel eindeutig definieren. Man braucht nur die Brennweite (solange die Lage normalisiert ist, sonst z.B. noch die Position des Scheitelpunkts)
Gruß

Hallo Miteinander,
schätzungsweise verschiebt sich der Schwerpunkt eines Parabolspiegels gegenüber der Vollscheibe um weniger als 1/3 der Sagitta. Könnte dadurch irgend etwas zusasmmenbrechen wenn man das schlabbert und muss man evtl. noch die Dicke der Metallbeschichtung berücksichtigen, insbesondere wenn man wie ich gerne Silber verwendet[:I] ?

Ehrlich jetzt komm möglicht bald jemand und erklär bitte wo das denn wichtig ist. Sonst könnten weniger begabte Mathe- Schätzer kopfscheu werden bei ihren Spiegel- Teleskop- Projekten.

Leicht irritierte Grüße
Kurt

Hallo Kurt,
lass mir doch das Erfolgserlebnis, die Formel mit meinem inzwischen über zwanzig Jahre altem Schulwissen hergeleitet zu haben.
Manchmal macht Kümmel spalten einfach nur Spaß.[:)]
Gruß

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Kalle66</i>
<br />Hallo Kurt,
lass mir doch das Erfolgserlebnis, die Formel mit meinem inzwischen über zwanzig Jahre altem Schulwissen hergeleitet zu haben.
Manchmal macht Kümmel spalten einfach nur Spaß.[:)]
Gruß
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Hi Kalle,

Erklärung akzeptiert! Ich dacht schon da stände etwas gaaaz praktisch wichtiges dahinter[:o)]

Gruß Kurt

Hallo Kurt,

&gt; Ehrlich jetzt komm möglicht bald jemand und erklär bitte wo das denn wichtig ist.

Wenn man einen Spiegel im Teststand so lagern will, dass keine Kräfte auf die Rückseite wirken, dann muss man genau wissen wo der Schwerpunkt ist. Das war jedenfalls meine Überlegung, die dazu geführt hat dass ich's mal ausgerechnet habe.

Hallo Bernie,

&gt; Die oben zitierte Formel im Bronstein ist meiner Meinung nach in dieser Form falsch und vielleicht wird das zur nächsten Auflage auch korrigiert. Leider können auch Bücher irren.

Es sind zwar einige wenige Fehler im Bronstein versteckt, aber nicht bei dieser Formel.
Im "Dubbel" Taschenbuch für den Maschinenbau, 18. Auflage steht übrigens auf Seite A31 die gleiche Formel.

Du kannst die Formel V = 0.5 pi a^2 h
unter Zuhilfenahme der Gleichung a^2 = 4 f
umformen zu V = 2 pi f h
und dann wird klar dass das Volumen von der Brennweite abhängt.

Gruss
Michael

Hallo Bernie,

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: mkoch</i>
Du kannst die Formel V = 0.5 pi a^2 h
unter Zuhilfenahme der Gleichung a^2 = 4 f
umformen zu V = 2 pi f h
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Moment mal, da habe ich einen ziemlichen Blödsinn geschrieben.
Also nochmal von vorne:

Im Bronstein steht:
V = 0.5 pi a^2 h
wobei a der Radius der Schnittfläche ist, und h ist die Höhe.

Wir wollen das Volumen das Rotationsparaboloids aber nicht in Abhängigkeit von Radius und Höhe wissen, sondern in Abhängigkeit von Brennweite und Durchmesser.

Der Durchmesser ist: D = 2 a
Die Höhe ist identisch mit der Pfeiltiefe: h = D^2 / (16 f)
Wenn wir das einsetzen, dann bekommen wir:
V = pi D^4 / (128 f)

Gruss
Michael

Hallo Michael,

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Wenn man einen Spiegel im Teststand so lagern will, dass keine Kräfte auf die Rückseite wirken, dann muss man genau wissen wo der Schwerpunkt ist. Das war jedenfalls meine Überlegung, die dazu geführt hat dass ich's mal ausgerechnet habe.
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

vielen Dank für die Begründung. Die Empfindlichkeit der Lagerung des Spiegels auf dem Prüfstand kann ich nur bestätigen. Nur "keine Kräfte auf der Rückseite" würde einen ziemlich kritischen Balanceakt erforden. Ich empfehle daher die Lagerung in der richtig dimensionierten Spiegelzelle mit leichter Rücklage (einige Winkelgrade). Wenn man dann noch die Angriffspunkte einer nahezu reibungsfreien lateralen Rollenlagerung in den von Dir berechneten Schwerpunkt legt hat man m. E. bestmögliche reproduzierbare Prüfbedingungen. Ich hab bisher diesen Schwerpunkt nur abgeschätzt. Bei Spiegeln bis 12" Durchmesser gab es dabei keine erkennbaren Probleme wie z. B. mangelhafte Reproduzierbarkeit der Messungen nach Spiegeldrehung.

Gruß Kurt