Umlaufzeit von Doppelsternen. Formalismus!

Hallo, Lukas:

Du meinst wohl das 3. Keplersche Gesetz:

T² = 4 Pi² a^3/[G(M1+M2)]

T ist die Umlaufzeit, a die große Halbachse, G die Gravitationskonstante
und M1 und M2 die Massen. Allerdings stellte Kepler nur die
Proportionalität zwischen T² und a^3 fest, der genaue Ausdruck
folgt aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz.

Konkret musst Du die Kraft aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz
gleich der Zentrifugalkraft setzen, wobei Du in die Formel fuer die
Zentrifugalkraft die sogenannte reduzierte Masse M1M2/(M1+M2)
einsetzen musst und die Winkelgeschwindigkeit omega=2Pi/T ist.
Dann nach T² auflösen, und obige Formel steht da.

Gruss,

Andreas

Hallo Lukas,

in der Tat hast du ein Pi vergessen, es heisst nämlich T^2= (4 Pi² r^3) / (G(m1+m2))

Und das geht so:

(1) Die Anziehungskraft beider Sterne beträgt Fg = G*m1*m2/r²
(2) Die Fliehkraft des 1. Sterns beträgt Ff1= (2*Pi/T)²*m1*r1
(3) Die Fliehkraft des 2. Sterns beträgt Ff2= (2*Pi/T)²*m2*r2

(4) rechne jetzt (1) = (2) und kürze m1 raus
(5) rechne jetzt (1) = (3) und kürze m2 raus

und addiere dann (4) und (5) und ersetze (r1+r2) durch r

das war's.

Gruss
Günter

das Pi² ist definitiv richtig und du hast es ja auch herleiten können. Da hat sich dein Prof wohl verschrieben.
Gruss
Günter

'Nächsten Donnerstag weiss ich ob's richtig war'
warum diese Unsicherheit? Du hast es doch auch hergeleitet (oder nicht?). Prof hin oder her.
Gruss
Günter

Hi,

das Zweikörperproblem reduziert sich auf ein Einkörperproblem mit der sogenannten <i>reduzierten Masse</i> m = (m1*m2)/(m1+m2). Vielleicht mal danach googeln. Bei Umlaufzeiten von Planeten ist die reduzierte Masse annähernd die Planetenmasse selbst. Haben die beiden Körper eine ähnliche Masse (wie bei Doppelsternen), kann man nicht einfach von den Keplergesetzen ableiten.

Gruß
Julian

Hallo Julian,
Das 3. Keplergesetz geht gerade von dieser Vernachlässigung m_Sonne &gt;&gt; m_Planet und damit der reduzierten Masse m = m_Planet im Einkörperproblem aus.
Das Zweikörperproblem mit den angenommenen Kreisbahnen (Aufgabenstellung) ist aber eine einfache mathematische Übung, die ohne Keplergesetze lösbar ist:
Die Anziehung beider Sterne lässt sich durch das Gravitationsgesetz angeben. Bei den Kreisbahnen beider Sterne um den gemeinsamen Schwerpunkt kann man jede einzelne Fliehkraft abhängig vom Schwerpunktabstand berechnen. Die einzelnen Sternmassen kürzen sich dann raus und du bekommst eine Beziehung zwischen der Umlaufzeit, der Gesamtmasse und dem Abstand in Doppelsternsystem.
Gruss
Günter

Hallo, Günther:

Das 3. Keplersche Gesetz macht keine Annahmen an die Masse.
Die Proportionalität T² ~ a^3 gilt allgemein für Körper, die sich
in einem Keplerpotential (~1/r) bewegen. Aber ich lasse mich gern
eines besseren belehren.
Das Keplerpotential impliziert eine Kreisbahngeschwindigkeit v_c,
die charakteristisch wie 1/sqrt(r) skaliert. Wenn du

T = s/v_c = 2Pi r/v_c

setzt und die Proportionalität einsetzt, kommt gerade das
3. Keplersche Gesetz raus.

Viele Grüße,

Andreas

Hallo Andreas,

an deiner Wortwahl erkenne ich, dass ich es mit einem Profi zu tun habe. Was um Himmels Willen ist ein Keplerpotential und warum soll ich irgendetwas irgendwie charakteristisch skalieren? Da kann ich mit meiner vor Jahrzehnten erworbenen Oberstufenphysik nicht mithalten. Trotzdem:

Gerade weil das Keplergesetz die Planetenmasse gegenüber der Sonnenmasse vernachlässigt (die Rotationsbahn wird auf die Sonnenmitte bezogen und nicht auf den gemeinsamen Schwerpunkt) ist es eine Vereinfachung. Mehr habe ich nicht gesagt.

Will oder kann man diese Vereinfachung nicht vornehmen (z.B. im Doppelsternsystem), muss man die Einzelmassen mit einbeziehen (oder wie in diesen speziellen Beispiel die Massensumme) und kommt zu der eingangs erwähnten Beziehung von Lukas.

Dabei unterstützt mich auch das Lexikon der Astronomie (Zitat):
"Die dritten Potenzen der grossen Bahnhalbachsen (a1,a2) zweier Planeten verhalten sich wie die Quadrate der Umlaufzeiten (U1,U2) der Planeten. a1³/a2³=U1²/U2².
Das 3. Keplersche Gesetz gilt in der angegebenen Formnicht streng, weil es als anziehende Masse allein die Sonne, nicht aber die Massen der Planeten berücksichtigt"

Gruss
Günter

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: gscholz</i>
Das 3. Keplergesetz geht gerade von dieser Vernachlässigung m_Sonne &gt;&gt; m_Planet und damit der reduzierten Masse m = m_Planet im Einkörperproblem aus.
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
Hi,

Das meine ich, geschrieben zu haben [;)]

Beste Grüße
Julian

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: _Andi_</i>
Das 3. Keplersche Gesetz macht keine Annahmen an die Masse.
Die Proportionalität T² ~ a^3 gilt allgemein für Körper, die sich
in einem Keplerpotential (~1/r) bewegen. Aber ich lasse mich gern
eines besseren belehren.
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Hi,

dann will ich das mal tun ... [:D]

das Potential 1/r ist in der Annahme "Kepler" aber ortfest und starr. Der Potential- bzw. Kraftfeldbegriff gilt jedoch nur für eine beliebig kleine Testmasse im Einflußbereich der Zentralmasse.

Haben die zwei Körper eine <i>vergleichbare</i> Masse, dann bewegt sich jeder Körper im Potential des anderen, die Potentiale sind auch <i>nicht</i> mehr ortsfest. Damit haben wir eigentlich kein "Keplerpotential" mehr und der Potential- bzw. Kraftfeldbegriff ist ungültig.

Wir können dann aber so <i>tun</i>, als hätten wir ein ortsfestes aber dafür <i>schwächeres</i> 1/r-Potential, weil die Rechnung zeigt, daß wir ein Zweikörperproblem (und nur ein solches) auf ein Einkörperproblem mit einer "reduzierten" Zentralmasse in einem ortsfesten, starren Potential zurückführen können. So ist es.

ZB: Zwei Sonnen gleicher Masse umkreisen den genau zwischen ihnen liegenden Schwerpunkt so (bzw. beschreiben eine Kegelschnittbahn um diesen als Brennpunkt), als befände sich dort eine halbe Sonnenmasse und die Sonnen selber hätten jeweils <i>keine</i> Masse.

Allgemein, die Umlaufzeit einer Doppelsternkomponente ist die Umlaufzeit eines masselosen Punktes um den Schwerpunkt des Doppelsternsystems, mit dem Abstand von diesem, mit der reduzierten Masse m1m2/(m1+m2) gedacht an diesem Ort.

Bei drei Körpern geht es dann gar nicht mehr, außer zwei davon sind winzig klein -&gt; Keplergesetze im starren Potential.

Die Keplergesetze sind eine Näherung, und sie machen nur deswegen keine Annahmen über die Planetenmassen, weil die Planetenmassen einfach vernachlässigt werden.

Beste Grüße
Julian