Formel fürs Parabolisieren

    die übliche Formel die beim Parabolisieren verwendet wird lautet x²/R. Sie beschreibt die Abweichung des allgemeinen Krümmungsradius der Parabel vom Krümmungsradius in der Mitte des Spiegels.


    Hier die Frage für all diejenigen, die es genauer wissen wollen. Kennt jemand die mathematische Ableitung (Buchtipp, Link o.ä) dieser Formel. Wenn ich das über die Ableitung des Einheitstangentenvektors berechne komme ich auf: sqrt(R²+x²)-R.


    Wo liegt der Fehler? [:(]

    Hallo Bernie,


    ich erhalte weder Deine Formel noch die andere.


    Die Formel für den Krümmungsradius nach Johann und Jakob Bernoulli lautet:
    rho=sqrt(1+y'²)³/y''. Wenn man das auf die Parabel anwendet, und dann die Differenz rho-rho0 bildet, ergibt sich im wesentlichen Dein Term, aber bei Dir fehlt die dritte Potenz.


    Wenn Du in Deinem Ausdruck die Quadratwurzel in eine Reihe entwickelst und nach dem ersten Glied abbrichst (das ist die übliche Näherung sqrt(1+a)=1+a/2 für a<<1), dann bekommst Du x²/2R, also eine zusätzliche 2 im Nenner.


    Gruß, mike

    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Bernie4321</i>
    <br />die übliche Formel die beim Parabolisieren verwendet wird lautet x²/R. Sie beschreibt die Abweichung des allgemeinen Krümmungsradius der Parabel vom Krümmungsradius in der Mitte des Spiegels.


    Hier die Frage für all diejenigen, die es genauer wissen wollen. Kennt jemand die mathematische Ableitung (Buchtipp, Link o.ä) dieser Formel. Wenn ich das über die Ableitung des Einheitstangentenvektors berechne komme ich auf: sqrt(R²+x²)-R.


    Wo liegt der Fehler? [:(]
    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">


    Hallo,
    Die Formel x^2/R ist eine Näherung.
    Die richtige Formel ist x^2/R + x^4 / 2R^3
    Ich habs mal ausgerechnet, die Abweichung liegt je nach Spiegeldaten bei 10^-5 und wirkt sich daher nicht aus.
    Grüße Martin

    Also besten Dank für die schnellen Antworten. Die ganze Sache ist mir allerdings immer noch nicht verständlich:


    Die Formel von Mike kann ich akzeptieren. D.h. ich starte mit einer Parabel (y=ax²) und lande bei rho=1/(2a)sqrt(1+4a²x²)³. Jetzt nenne ich den Krümmungsradius bei x=0, r. Dieser berechnet sich damit zu 1/(2a). Soweit alles OK.


    Jetzt ersetze ich a durch 1/(2r) und erhalte damit rho=r*sqrt(1+(x/r)²)³. Als erste Näherung erhalte ich also für x/r&lt;&lt;1 rho=r+3/2*x²/r.


    Damit ergibt sich doch als erste, nichtverschwindende Ordnung für die Abweichung vom inneren Krümmungsradius die Formel 3/2*x²/r. (??)


    Bitte entschuldigt die vielen Gleichungen, aber ich wüßte einfach zu gern wie das Parabolisieren auch von der Theorie her funtionieren sollte. Vielleicht ist mir auch der Foucaulttest noch nicht klar. Aber man misst doch dort den Krümmungsradius?


    Die Kopfschmerzen kommen übrigens von einem 18''-Rohling, der irgendwann einmal korrekt mit f/4.5 parabolisiert werden will.

    Hallo Bernie,


    genau so isses.


    Jetzt gehts aber weiter: Beim Zonenradius x hat die Parabel die Ordinate y=ax²=1/2*x²/r.
    Wenn Du Dir jetzt überlegst, wo der Krümmungsmittelpunkt der Zone auf der optischen Achse liegt, dann siehst Du, daß er um 3/2*x²/r-1/2*x²/r=x²/r weiter vom Spiegel entfernt ist als der "Krümmungsmittelpunkt" der Spiegelmitte.


    Zurück zu Deinem ersten Satz im Eingangsposting: x²/r beschreibt also nicht die Abweichung des Krümmungs<i>radius</i>, sondern die des Krümmungs<i>mittelpunktes</i>. Das ist gerade sinnvoll für den Foucaulttest, denn um diese Strecke mußt Du Lichtquelle und Schneide für die jeweilige Zone verschieben.


    Gruß, mike

    Hallo,


    so ganz ist mir die Sache doch noch nicht klar. Ich habe mal den Krümmungsmittelpunkt exakt ausgerechnet und bekomme dabei:


    Mc=-x³/r² My=r+(3x²)/(2r).


    D.h. der Krümmungsmittelpunkt befindet sich von der Mitte mal abgesehen gar nicht auf der optischen Achse. Was misst der Foucaulttester da eigentlich? Vermutlich ja eine genäherte Sphäre mit Krümmungsradius r+x²/r+... Aber wie wird denn da genähert?


    Marty: vielen Dank für den zweiten Term. Den werde ich wohl bei meiner 18''-Pizza mitberücksichtigen.


    Gruss Bernhard

    Hi Bernie,


    ausgehend von Deinem Beitrag, hab ich mir den Bronstein (Handbuch der Mathematik)geschnappt,
    und meine längst eingestaubten Kenntnisse in Diffgeo wieder aufgefrischt. [:)]
    Ich dachte auch zuerst, dass die Krümmungsmittelpunkte auf der Symmetrieachse lägen,
    dem ist aber nicht so.
    Sie liegen auf der sog. Evolute, die Menge aller Krümmungsmittelpunte.
    Diese interessiert uns aber nicht.
    Wichtig für den Spiegelschleifer ist der Schnittpunkt der Flächennormale
    von einem beliebigen Punkt auf der Fläche mit der Symmetrieachse.
    Und diese berechnen sich gemäss r + x^2/2r.
    (Das nachzurechnen ist nicht sonderlich schwierig).
    Um diesen Betrag muss man die Messerschneide verschieben,
    wenn die Lichtquelle mitverschoben wird.
    Bei feststehender Lichtquelle gilt der allseits bekannte doppelte Wert (x^2/r).


    Gruss,
    Thomas


    PS.: Das war hier mein erster Beitrag hier auf astrotreff.
    Folgende Beiträge sind nicht ausgeschlossen. [8D][8D]

    Hallo Thomas,


    danke für die Klarstellung.


    Daß da irgendwas noch verkehrt war, wurde mir gestern früh unter der Dusche klar. Aber das Wochenende war mal viel wieder zu kurz, um mich näher damit zu befassen.


    Beim Foucaulttest interessiert uns tatsächlich nicht der Krümmungsmittelpunkt der Parabel, sondern der Mittelpunkt der Kugel, die sich der jeweiligen Spiegelzone anschmiegt.


    Gruß, mike


    P.S.: Weitere Beiträge von Dir sind gern willkommen [8D]

    Hallo Thomas,


    mein Problem ist damit erledigt. Besten Dank.


    Alle Nichtmathematiker möchte ich also hiermit eindringlich vor Martys Zusatzterm warnen. (Marty: Ich denke das ist in Deinem Sinne).



    Die Formeln x²/r bzw. x²/2r sind also KEINE Näherungen und gelten allgemein für Parabolspiegel jeglicher Art. Genau das war mir eben nicht klar.

    Hallo ihr Theoretiker!


    Ich möchte eine Kleinigkeit korrigieren:
    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Die Formeln x²/r bzw. x²/2r sind also KEINE Näherungen und gelten allgemein für Parabolspiegel jeglicher Art. Genau das war mir eben nicht klar.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">


    Das stimmt nicht ganz. Bei mitbewegter Lichtquelle im Foucault-Test ist x²/2r tatsächlich die exakte Formel. Wenn man die Lichtquelle jedoch mitbewegt ist die Formel x²/r nur eine Näherung. Allerdings sind die Abweichungen so klein, dass man sie erst bei sehr lichtstarken Riesenspiegeln (z.B.24 Zoll f/3,5) berücksichitgen sollte.
    Der Foucault-Test mit mitbewegter Lichtquelle ist also genauer - allerdings ist auch die Messgenauigkeit nur halb so groß, so dass ein FT mit fester Lichtquelle bei kleinen Spiegeln meiner Meinung nach vorzuziehen ist.


    Ich weiß zwar nicht, ob das jetzt 100%ig zum Thema war, aber ich wollte es trotzdem loswerden. [:)]


    Viele Grüße
    Jonathan

    Hallo Bernie4321


    Die Formel von Martin ist aber richtig.


    Mit x²/2r erhältst du die Strecke zwischen dem Krümmungsmittelpunkt und dem
    Schnittpunkt der Normalen auf der Achse.
    Sendet man einen Lichtstrahl vom Schnittpunkt aus, so kehrt er wieder in diesen zurück.
    Sendet man einen Lichtstrahl vom Krümmungsmittelpunkt aus, dann wird die Normale zum Lot und weil der reflektierte Strahl flacher zur Achse kommt wird die Strecke zu diesen Schnittpunkt mehr als verdoppelt.
    Daher dieser Zusatz den man für den 5 Meter Spiegel am Mont Palomar verwendet hat.
    Ich habe mir das vor vielen Jahren als ich noch Lehrling war,
    einmal anschaulich gemacht.
    Vielleicht hilft dir das auch.



    Viele Grüße
    Alois

    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Alois</i>
    <br />Hallo Bernie4321


    Die Formel von Martin ist aber richtig.


    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">


    Hallo,
    Ich hab ein paar Tage nicht reingesehen und bin von der heißen Diskussion etwas überrascht. Da ich kein so guter Mathematiker bin kann ich das alles nicht nachrechnen. Soweit ich das verstehe ist es etwa folgendermaßen:
    Die von mir angegebene Formel stimmt bei feststehender Lichtquelle. Die hab ich nicht nachgerechnet sondern abgeschrieben. Dabei ist der Unterschied für alle Spiegel die Amateure so machen unbedeutend. Es sei den man macht irgend was wie einen Pressman-Camichel oder Dall-Kirkham oder so.
    Der Krümmungsmittelpunkt eines Flächenanteils des Parabelspiegels ist nicht auf der optischen Achse sondern auf einer hornartigen Figur, die man auch berechnen kann. Der zugehörige Test heist Caustiktest. Bei alle üblichen Tests wird trotzdem auf der optischen Achse gemessen, es gibt aber auch Ausnahmen, z.B. Lateraler Drahttest, Hartmanntest..
    Wer sich näher damit beschäftigen möchte hier ist ein Link:
    http://home.earthlink.net/~bur…atm_math.lwp/atm_math.htm
    Grüße Martin

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