Sphärometer off-axis auf parabolischem Spiegel

Hi Stick,

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Wer dieses Problem in eine einzige Formel packen kann, hat ein Mathematikstudium hinter sich.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Wieso Studium, dass schafft jeder Schüler der Oberstufe mit Mathe-Leistung. Man muss sich halt konzentrieren, die paraboloide Fläche im Raum als Gleichung definieren (parametrisiert, da die gesuchte Parabel ja unbekannt). Dann 3 Punkte (Ebene) auf der Fläche, die 'Normale' dazu im Schwerpunkt dieser Punkte und den Webabschnitt der Normale zwischen Ebene und Paraboloid. Dieser Wegabschnitt (den die Mikrometerschraube ermittelt, führt dann zum eingangs erwähnten fehlenden Parameter der Parabel.

Soweit dürfte Michael aber schon sein, dass ihm dies bewusst ist. Die Frage ist daher, ob jemand das schon zusammengepfrimelt hat?
Und ob dann eine einfache Formel rauskommt? Wenn dann jemand alles noch in Polarkoordinaten angibt, dann spart man sich das Exceltabelle füttern und einen Rasterplan mit Solltiefen ausdrucken, wie eine Seekarte. [;)]

Gruß

Also, die Parabelgleichung so in eine Formel zu packen, daß dabei die Steigung des Sphärometers herauskommt, inklusive des Umstands, daß Füße und Taster ja auch Radien haben und keine Nadeln sind, übersteigt zumindest meine Fähigkeiten. Die Radien sind ja nötig, um die Rauhigkeit auszugleichen. Außer der Einfluß bleibt unwesentlich. Und dann noch mit 4 Punkten? So oder so kann ich da nur noch Daumen drücken.

Einfach wird die Formel nie im Leben. Im Vergleich zur Iteration spart sie höchstens ein paar Millisekunden Computerzeit. Und da es sich um viele Messungen handelt, will sich mit der Formel nach Vollendung derselben ohnehin keiner mehr abgeben.

Ich glaub, alles in allem ich würd' mir in etwa so ein Ungetüm bauen:

Falls man das geeicht bekommt und es den Schliff vereinfacht. Zumindest wäre es gegen Keilfehler und Asti wirksamer als die relativen Messungen.

Grüße
Stick

Hallo,
nachdem ich auf einer langen Autofahrt über das Problem gegrübelt habe, bin ich zu dem Schluss gekommen, daß es mit einem großen Sphärometer nicht funktioniert.
Die Benutzung eines Sphärometers unterstellt eine Sphäre.
Diese wird durch die 4 Punkte eindeutig bestimmt. (Beim Balkensphärometer ist es mit 3 Punkten ein Kreis.)
Soweit sogut.
Eine Sphäre kann man lokal immer annehmen wenn man entsprechend große Tools verwendet. Wie groß "lokal" ist, das bleibt natürlich eine Einzelfallentscheidung.

Was man aber nicht kann, das ist, einfach eine Parabel anzunehmen, danach unter dieser Annahme ein Sphärometer draufsetzen und dann die Oberflächenform bestimmen die man noch nicht kennt. Das wird ein Zirkelschluss.
Mit anderen Worten: Wenn man weiß, daß es eine Parabel ist, dann braucht man gar nichts zu messen, weil ja egal ist welche man denn da reinschleift. Eine Parabel unterscheidet sich von anderen Flächen genau dadurch, daß die lokalen Krümmungen in einer bestimmten Weise nach außen abnehmen.
So wie sich eine Sphäre durch die absulte Konstanz der lokalen Krümmung auszeichnet. Und genauso geht man an eine Sphäre mit dem Sphärometer ran: man misst lokal ob die Krümmung gleich ist. Dabei ist der absolute Betrag der Krümmung weniger wichtig, falls man nicht auf die exakte Einhaltung der Brennweite angewiesen ist. D.h. man kann das Sphärometer sogar im Zentrum auf Null setzen.

Wenn man das auf die Parabel überträgt heißt das:
Man kann wiederum im Zentrum auf Null setzen und dann mit dieser Eichung nach außen weiterschieben. Die Pfeiltiefe am Sphärometer wird dabei kleiner und diese Differenz gilt es entsprechend auszuwerten. Das müsste sogar mit FigureXP funktionieren da es sich beim Foucault-Test genau um die gleiche Mimik handelt.
Weil man bei dieser Methode auf den Absolutbetrag der Krümmung verzichtet, benötigt man nur einen kleinen Messbereich von einigen Mikrometern. Wenn man in den 1/10000 Bereich kommen will (falls es überhaupt geht?) wäre das sehr willkommen.

Wegen der Messgenauigkeit sehe ich das ähnlich wie Jörg. Schwierig.
Daß die Profis mit Sphärometrie arbeiten, liegt evtl daran, daß wir hier über mit f/3 noch fast über Kugelspiegel disskutieren.
Bei einem 1m f/1 Parabolid sieht es zumindest mit der Messbarkeit besser aus:

Radius im Zentrum: 2000
Radius 70% Zone : 2094.5
Radius 100% Zone : 2190.4

Pfeiltiefe im Zentrum: 0.625
Pfeiltiefe 70% Zone : 0.597
Pfeiltiefe 100% Zone : 0.571

Das kann man schon fast mit Opa's ollem Zollstock messen [:D]

Viele Grüße
Kai

Hallo Kai

Ich stell mir gerade folgende Verrücktheit vor (läßt sich wahrscheinlich auch wieder nicht genau genug bauen):
Über dem Spiegel hängt ein mit einer Kugellagerkugel gelagertes Pendel im Mittelpunkt der Sphäre, an dessen Ende steckt die Meßuhr und mit diesem Riesengriffel (leicht und verwindungssteif müßte er sein) fährt man die Parabel ab Auch da wäre der Meßbereich klein genug, damit ein Feintaster alles abdeckt. Da stellt sich die Frage: Kann man so eine Parabel erfassen, wenn man Dank der thermischen Veränderung die absolut exakte Länge des Griffels nicht kennt? Während der Messung wird sie sich nicht relevant ändern, denke ich. Müßte man eigentlich hinbekommen, wenn die Pfeiltiefe extra vermessen wird.

Sorry für's Spinnen, ihr weckt den verrückten Erfinder in mir. Ich bau' im Kopf gerade alle Ideen nach, die wahrscheinlich schon 1834 gescheitert sind.

Viele Grüße

Stick

Hallo Michael,
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">also der letzte Stand ist, dass die analytische Lösung wohl nicht unmöglich, aber sehr schwierig ist.
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
Das ist ein großer Unterschied[:D]

Die Aufgabenstellung ist für meinen Geschmack noch zu weit gefasst.
Mit einem kleinen, lokalem Sphärometer ist das Problem lösbar. Es hängt allerdings von der Messgenauigkeit ab. Eine Halbierung der Basislänge viertelt den Ablesewert.

Für ein großes Sphärometer sieht die Aufgabe im Moment so aus:
Man stelle ein Sphärometer in variabler Orientierung an verschiedene Stellen der Spiegelfläche und berechne aus den 4 Auflage-Koordinaten des Sphärometers und dem entsprechenden Ablesewert die Oberflächenform.

Den Punkt "variable Orientierung", also Drehung, halte ich für ganz wichtig. Ansonsten ist es vermutlich unmöglich (man beachte den feinen Unterschied zu "sehr schwierig"[:D]) mit einem großen Sphärometer auch den Rand des Spiegels zu erfassen. Ich würde zunächst nicht 4 Koordinaten zur Beschreibung des Sphärometers verwenden, sondern nur zwei. Das ist möglich, weil das Sphärometer sich während der Messung nicht in den Dimensionen ändert und damit die 4 Koordinaten sowieso voneinander abhängig sind. Mittelpunkt und Drehwinkel beschreiben es vollständig.

Nun für den Anfang noch weitere Vereinfachungen:

1. wir unterstellen Rotationssymmetrie
2. wir nehmen ein Sphärometer mit Durchmesser Ds= D/2, also für den Meterspiegel eins mit Ds = 500mm
3. wir stellen es genau zwischen Mitte und Rand des Spiegels und verschieben es nicht sondern drehen es nur

Mit Punkt 1. können wir alles in Polarkoordinaten aufschreiben und reduzieren das ganze auf ein zweidimensionales Problem. Als Bezugsfläche für die Höhenkoordinate z kann die "best-fit-Sphäre" herhalten, so wie die Darstellung zB in FigureXP gemacht wurde.

Punkt 2 und 3 halte ich für ausreichend zur Lösung des Problems. Dh mehr Aufwand bringt keinerlei weitere Informationen über die Oberfläche. Es läuft auf darauf hinaus, die z-Koordinate der Schnittlinie zwischen Parabolid mit D und Kreis mit D/2 zu berechnen und mit den Ablesewerten zu vergleichen. Die z-Koordinate der Schnittlinie lässt sich ganz sicher analytisch herleiten.

Ich habe für diese Konstellation und zwei Stellungen das Sphärometers (ein Punkt am Rand bzw ein Punkt im Zentrum) die Hub-Differenz abgschätzt. Es sind beim 1m/f3-Spiegel knapp 5 Mikrometer. Also man braucht ein stabiles Sphärometer mit Ds=500mm und eine Messuhr mit mindestens 5 Mikrometer Messbereich in hoher Auflösung. Nullstellung erfolgt direkt auf dem Spiegel, es interessieren nur Differenzen.
Das ganze kann man mit FigureXP und etwas Sinus und Tangens nachvollziehen, vieleicht male ich es die Tage einmal auf.

Viele Grüße
Kai

Hallo Michael,
ja klar, ganz herum braucht man nicht zu drehen. Höchstens 120° oder wie Du vermutest sogar nur 60°.
Wenn mal schlechtes Wetter ist, kämpfe ich mich mal durch die Formeln, ich denke es funktioniert so wie ich es mir vorstelle.
Die Frage ist, ob man mit so einem großen Sphärometer die kleinen Differenzen genau genug messen kann. Weiterhin muss der Spiegel währen der Messung ziemlich eben liegen. Mein dünner 28" hat waagerecht auf Knallfolie gelagert die Flügel schon mal 5 Mikrometer hängen lassen...
cs Kai

Hi Leute,

kann man zur grob (micro statt nano Meter)Beurteilung den fein geschliffenen Spiegel nicht dünn mit Öl (natürlich Olivenöl) einreiben. Müsste doch auch schon Foucault Bilder liefern oder ?

Sphärometer:
Die Idee mit 2 Punktauflage und Messung in der Mitte halte ich für zu wackelig.

Wenn schon mit einem Spährometer gemessen werden soll, dann würde ich mit 3 Punktauflage + 1 Mespunkt arbeiten, wobei ich 2 Auflagepunkte recht knapp nebeneinander und den dritten gegenüber und den Messpunkt in die Mitte setzen würde. Damit müsste man in guter Näherung die Krümmung in Richtung des spitzen Dreieckes gebildet durch die 3 Punktauflagen messen können.

LG Robert

Hi Lupos
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">
kann man zur grob (micro statt nano Meter)Beurteilung den fein geschliffenen Spiegel nicht dünn mit Öl (natürlich Olivenöl) einreiben. Müsste doch auch schon Foucault Bilder liefern oder ?
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Die Olivenölfrage (griechisches?) hatte ich vor einer Seite auch schon mal gestellt. Die Zahl der Neugierigen wächst.

Viele Grüße

Stick

Hallo,
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Die Olivenölfrage (griechisches?)<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
Wenn es überhaupt geht, dann *nur* mit griechischem[:D]
Aber, ein Mikrometer ist nicht gerade viel. Versuch macht kluch.

So ein Spiegel in der 1m-Klasse mit f/3 sprengt die Amateurdimensionen schon gewaltig. Gerade das Herausschleifen der Parabel wurde bislang meines Wissens noch nirgends probiert, von den Herrausforderungen der Messtechnik ganz zu schweigen. Obwohl man mit OpenFringe schon weit rankommen kann.
So ein 1m/f3 hat einen Spherical-Zernike von ca 19 und eine Abweichung von der "best-fit-Sphäre" von etwas über 9 Mikrometer.
Zum üben der neuen Techniken im kleinen Maßstab könnte man einen 100mm Spiegel mit Blende f/1.4 probieren. Das entspricht sich von der Messtechnik und von der absoluten Abweichung zur Sphäre, lediglich die Glasmenge ist wesentlich kleiner. Ein Mega-Spaß für 20 Euro Materialeinsatz [:D]
Mit einem Loch in der Mitte wird das ein hübcher Gregory mit einem aufrechten Bild für die Fensterbank. Und wenn's schiefgeht taugt es immer noch als Reflektor für eine fetzige Taschenlampe.

Viele Grüße
Kai

Hallo Michael,

sehr schön!
Ich glaube das so halb verstanden zu haben.
Du gibst einen Punkt vor, berechnest die Koordinaten der anderen beiden Dreieckspunkte und musst danach noch den Abstand vom Mittelpunkt des Dreiecks auf das Paraboloid finden. Das ist dann der gesuchte Messuhr-Hub. Richtig?

Viele Grüße
Kai

Bin gerade dran, ein Programm in Python dafür zu schreiben, mit der allerersten Idee (3 Punkte, zur Achse ausgerichtet, einer ganz links, beliebiger Abstand zum Mittelpunkt). Ich geb allerdings zu, daß Iteration im Spiel ist (und viel Pythagoras). schon bei 100 Iterationen ist die Genauigkeit von Floats überschritten, da sich die Genauigkeit jedes mal Verdoppelt.

Viele Grüße

Peter

Für mich schon, weil das mathematische Festessen dort oben für mich praktisch unverdaulich ist

Schon allein die Sache mit der Neigungsebene ist für mich halt nicht nachvollziehbar. Mit anderen Worten, wie ich die Neigungsebene überhaupt messe. Ich weiß ja noch nicht mal, was eine parametrisierte Lösung ist, oder welche Variablen was bedeuten. Mein Wissen umfaßt andere Bereiche. Meine Lösung basiert ausschließlich auf Pythagoras und Vektoren und das begreife selbst ich noch ausreichend. Und die einzigen drei Variablen bei mir sind Kantenlänge des Sphärometer, Fokus des Spiegel und Abstand von der Mitte. Für einen Laien noch erfaßbar. Die beiden Iterationen (Neigung des Dreiecks und Länge des Meßfühlers könnte man durch gleichsetzung noch plattmachen, doch wozu?)

Abgesehen davon bin ich ohnehin fast fertig gewesen. Wäre schade, kurz vor der Ziellinie die Pausenbrote auszupacken, nur weil ich zweiter werde.

Die Lösung oben ist wesentlich eleganter, aber bezüglich Genauigkeit ebenbürtig.

Viele Grüße

Stick

Hi Stick,
Michael ermittelt die Auflagerpunkte bildhaft, in dem er das Sphärometer mit der Spitze schräg nach unten unter die Decke schraubt und dann mit einem xyz-Kreuztisch den Spiegel so lange darunter verschiebt, bis das Sphärometer glatt aufliegt. Dann schaut er erst, wo es aufliegt und misst.

Gruß

Hi Kalle

Jetzt versteh ich zumindest das Prinzip. Aber wie stimmt man das mit dem Meßergebnis ab? Der Winkel des Sphärometers ist ja praktisch nicht meßbar.

Viele Grüße
Stick

Hi Stick,
dass ist nur eine Bildhaftmachung der Formel:
Man wartet, bis das Sphärometer aufliegt, schaut dann wo es liegt und misst die Pfeiltiefe. Wenn man die Schräglage während einer Messserie durchwandert bekommt man auch alle Zonen durch. Dazu brauchst Du nur eine Funktion, die zu jeder Schräglage die daraus folgenden Messpunkte ableitet.
Dieses Durchwandern nennt man "parametrisieren" einer Formel.

Gruß

Zum Verständnis, Parameter mal anders:
y=xx/4f ist die Parabelfunktion in Abhängigkeit vom Parameter f (=hier Brennweite). Also nicht eine Parabel, sondern eine Parabelschar.

Ist geschehen. Ich hab' Blender auch noch dazu gebracht, das Ergebnis zu visualisieren (nicht das Bild unten, einfacher), damit ich weiß, ob meine Codesalat halbwegs richtig ist. Scheint alles zu stimmen. Könnt Ihr diesen Wert bei Gelegenheit überprüfen?
Kantenlänge : 100mm
Abstand rechter Rand : 300mm
Fokus : 3000mm
Meßwert: 0.276531517958

viele Grüße
Stick

Hallo Stick,

nun bin ich aber gespannt!
Mach doch bitte zum schnellen Vergleichen mal folgendes:
Mit Basislänge meinte ich den Durchmesser des Sphärometers.
In Deinem Beispiel müsstest Du dort wo jetzt 100mm steht genau 86.60254 ranschreiben (dann ist Ds=100mm).
Der Mittelpunkt des Sphärometers muss einmal bei "Null", also im Zentrum stehen, dann bei 353.5534 und schließlich bei 500. Musst Du nur den Spiegel etwas größer machen, sonst fällt es ja runter[:D]

Dann sollte ungefähr das hier rauskommen:
Pfeiltiefe im Zentrum: 0,20833
Pfeiltiefe 70% Zone : 0,20725
Pfeiltiefe 100% Zone : 0,20618

Und dann kannst Du noch folgenden Spezialfall ausprobieren:
Die "100mm" ersetzt Du durch 433.0127 (dann hat das Sphärometer einen Ds=500mm) und stellst es mit einem Punkt auf den Rand des Spiegels, die Mitte ist dann bei 250.
Anschließend drehst Du es so, daß ein Punkt im Zentrum des Spiegels steht. Die Differenz der beiden Ablesewerte sollte circa 4,6nm betragen.

Viele Grüße
Kai