Liebe Falter und Fourierierer,
Schauen wir uns zuerst das vorwärts Problem an:
Man nimmt eine Digitalaufnahme (unverschmiert) a in Form einer N*M matrix von reellen (was sonst) Pixelwerten.
Die Aufnahme (klein) a wird Fouriertransformiert und gibt die Transformierte (groß) A.
A ist ebenfalls eine NxM Matrix aber diesemal von komplexen (macht aber kein Problem) Fourierkoeffizienten.
Dann nimmt man die PSF (Pointspreadfunktion) (klein) p in unserem Fall die Strichspurfunktion, diese wird wohl eine 2D Rechteckfunktion, evaluiert über einem NxM Gitter (auch reell was sonst) sein und Fouriertransformiert diese zu (groß) P mit komplexen (auch kein Problem) Fourierkoeffizienten.
nun werderden die NxM koeffizienet Stück für Stück miteinander multipliziert: S=A*P, dies gibt wieder eine komplexe NxM Matrix S (das FourierTransformierte Strichspurbild), welche mittels der Inversen Fouriertransformation rücktransformiert wird. Und Wunder oh Wunder erhält man das "verwaschene"
Strichspurbild (klein s) s=a°p (Ring = Faltungsoperator) in Form einer NxM Matrix von reellen Pixelwerten. Das ganze betietelt sich dann Faltung gerechnet über die Fouriertransformation.
Das Rückwärtsproblem bezeichnet man als Entfaltung:
a=InverseFourier(S*(1/P))
Das schaut zunächst sehr simpel aus, das Problem ist aber das P die FourierTransformation von p (Rechteckfunktion) aus (komplexen) Fourierkoeffizienten Besteht welche für hohe Bildfrequenze gegen Null abklingen. Dadurch entstehen bei 1/P sehr große, gegen Unendlich strebende Werte, die das "korrekte" Ergebnis der Entfaltung durch numerische instabilitäten großteils in "numerischen Mist" versinken lassen.
Die Gegenmaßnahmen sind z.B. wegfiltern/abschneiden der hohen Bildfrequenzen, das beschert uns jedoch einen Verlust der kleinen Bilddetails welche ja genau in den hohen Bildfrequenzen zu finden sind, genau die wollen wir aber regenerieren .....
Kurz und leider nicht so gut, Entfaltung ist leider sehr schwierig.
So ganz nebenbei: kreisförmige Strichspuren kann man über die lineare Operation der Faltung/Entfaltung sicher nicht modellieren.
(==>)holger 1/P :
Matrix invertierungen kommen hier sicher nicht vor, es wird lediglich Matrixelement für Matrixelement der Reziprokwert gebildet.
Bei der Inversene FourierTransformation von komplexen Matrizen entstehen im allgemeinen wieder komplexe Matritzen im speziellen Fall der Faltung reeller Matritzen entsteht aber nach komplexen Zwischenergebnissen dankenswerter Weise wieder eine reelle Matrix (von Pixelwerten).
mit entfalteten Grüßen
Robert
