Zu berechnen sind die elliptische Bogenlänge und die Bahnfläche für das "Winterhalbjahr" elliptischer Umlaufbahnen mit verschiedenen
Exzentrizitäten.
Das "Winterhalbjahr" ist dabei der kleinere der beiden Teile, in die eine Ellipse geteilt wird, wenn ich in dem Brennpunkt, in dem die Sonne steht, eine Senkrechte auf der langen Achse der Ellipse errichte. Von der Sonne aus gesehen betragen die Winkel vom Perihel zu jedem der beiden Schnittpunkte der Senkrechten mit der Ellipsenbahn jeweils 90°.
Die große Halbachse der Bahn sei der Einfachheit halber auf 1 Astronomische Einheit (AE) gesetzt. Dann gelten die Ergebnisse auch gleich direkt für die Erdumlaufbahn.
(Dass das Perihel der Erdbahn ziemlich genau in der Mitte zwischen Herbstanfang und Frühlingsanfang liegt, ist Zufall. Meine Rechnung nimmt an, dass es <i>genau</i> in der Mitte liegt.)
Da ein Großteil der benötigten Ellipsenmathematik für die Unterstufe wohl etwas zu krass wäre, gebe ich zunächst einfach die berechneten Flächen und Bogenlängen an und werte sie betreffs der Fragestellung aus. Für die Interessenten folgt eine kurze Beschreibung der verwendeten Rechenmethoden am Ende.
A) Überstrichene Fläche
Gemäß dem Zweiten Keplerschen Gesetz überstreicht der vom Planeten zur Sonne gezogene "Fahrstrahl" in gleichen Zeiten gleich große Flächen. Die während des Winterhalbjahrs vom Fahrstrahl des Planeten überstrichene Fläche ist einfach die Fläche des durch die erwähnte Senkrechte abgeschnittenen Ellipsensegments.
Das Verhältnis der Fläche dieses Wintersegments zur Gesamtfläche der Ellipse ist also gleich dem Verhältnis der Aufenthaltsdauer des Planeten auf dem Winterbogen zur gesamten Umlaufdauer.
Die folgende Tabelle zeigt für einige Exzentrizitäten die Fläche des Wintersegments (in AE²), die Gesamtfläche der Ellipse (in AE²) und das Verhältnis der beiden. Exzentrizität = 0 entspricht einer Kreisbahn, Exzentrizität = 0.0167 entspricht der Erdbahn.
Exzentrizität Fläche Wintersegment Gesamtfläche Verhältnis
0 1.57080 3.14159 0.50
0.01 1.55072 3.14128 0.49366
0.0167 1.53718 3.14072 0.48944
0.05 1.46900 3.13374 0.46877
0.1 1.36426 3.11018 0.43864
0.2 1.14977 3.01593 0.38123
0.5 0.53190 2.35619 0.22575
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Die Gesamtfläche nimmt mit steigender Exzentrizität (bei festgehaltener großer Halbachse) ab, da die Ellipse immer schmaler wird. Die Fläche des Wintersegments nimmt noch rascher ab, weil sich die Ellipse zunehmend sozusagen "vom Perihel weg" und "in Richtung Aphel" verschiebt.
Wie man sieht und auch erwartet hat, hält sich im Falle einer Kreisbahn der Planet genau die Hälfte der Zeit im Winterhalbjahr auf.
Im Falle der Erde (Exzentrizität 0.0167) hält sich der Planet den Bruchteil 0.48944 einer Umlaufperiode, also eines Jahres, im Winterhalbjahr auf. Das können wir auch gleich mit realen Erdbahndaten vergleichen. Laut Wikipedia, Artikel "Jahreszeit", haben die Jahreszeiten jeweils eine Dauer von
Frühling: 92,76 Tagen
Sommer: 93,65
Herbst: 89,84
Winter: 88,99
Auf die "Winterhälfte" der Bahn im eingangs erwähnten Sinne (zwischen Herbst-Tagundnachtgleiche und Frühlings-Tagundnachtgleiche) entfallen die Jahreszeiten Herbst und Winter. Der zeitliche Anteil, den die Erde dort verbringt, beträgt laut Tabelle (89.84+88.99)/(92,76+93,65+89,84+88,99) = 0.48962 Jahre, was schön mit unserer idealisierten Ellipsenrechnung übereinstimmt.
B) Bogenlänge
Die folgende Tabelle enthält die Länge des Ellipsenbogens, der auf das Winterhalbjahr entfällt (in Astronomischen Einheiten AE) und den Gesamtumfang. E ist ein zur Berechnung der Bogenlänge benötigter Hilfswinkel.
Exzentrizität Umfang E Bogenlänge mittlere Geschw.
0 6.28319 AE ±90° 3.14159 AE 6.28318 AE/Jahr
0.01 6.28303 ±89.4270° 3.12151 6.32320
0.0167 6.28275 ±89.0431° 3.10798 6.35007
0.05 6.27926 ±87.1340° 3.03971 6.48444
0.1 6.26745 ±84.2608° 2.93439 6.68975
0.2 6.21987 ±78.4630° 2.71525 7.12234
0.5 5.86985 ±60° 2.01511 8.92629
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Wie man sieht und auch erwartet, wird die Bogenlänge des Winterhalbjahres mit zunehmender Exzentrizität kleiner.
Dividiert man die Bogenlänge (in AE) durch die Aufenthaltsdauer (in Jahren) aus der vorigen Tabelle, erhält man die ebenfalls in der Tabelle gezeigte mittlere Geschwindigkeit während des Winterhalbjahres.
C) Auswertung
Jetzt haben wir alles, was wir brauchen: Die jeweils während des Winterhalbjahres durchlaufene Bogenlänge, die mittlere Geschwindigkeit beim Durchlaufen dieses Bogens, und die zum Durchlaufen benötigte Zeitdauer. Wie aus der ersten Tabelle ersichtlich ist, nimmt die benötigte Zeitdauer ab (für die hier tabellierten Exzentrizitäten von 0.5 Jahren bis auf 0.22575 Jahre).
Da in die benötigte Zeitdauer sowohl die zu durchlaufende Bogenlänge als auch die mittlere Geschwindigkeit eingehen, stellt sich die Frage: Welchen Beitrag leisten - bei Veränderung der Exzentrizität - die Änderung der Bogenlänge und die Änderung der Geschwindigkeit zur Änderung der benötigten Zeit.
Der Zusammenhang zwischen Bogenlänge S, Geschwindigkeit V und Zeitdauer T ist
Ich betrachte nun die Bogenlänge und die Geschwindigkeit <i>bei der Kreisbahn</i> als Referenzwerte S0 bzw. V0 und drücke die Bogenlängen und Geschwindigkeiten bei den anderen Exzentrizitäten mit Bezug auf S0 und V0 aus. Die Bogenlänge 3.12151 AE bei der Exzentrizität 0.01 wird beispielsweise als 0.994*3.14159 also 0.994*S0 ausgedrückt. Auf diese Weise sieht man sofort, um wieviel sich Bogenlänge und Geschwindigkeit bei den verschiedenen Exzentrizitäten gegenüber der Kreisbahn geändert haben.
0 : <font color="limegreen">3.14159</font id="limegreen"> / <font color="orange">6.28318</font id="orange"> = 1*S0 / 1*V0 = <font color="limegreen">1</font id="limegreen"> *<font color="orange">1</font id="orange"> *(S0/V0) = <font color="limegreen">1</font id="limegreen"> *<font color="orange">1</font id="orange"> *T0
0.01 : <font color="limegreen">3.12151</font id="limegreen"> / <font color="orange">6.32320</font id="orange"> = (0.994*S0)/(1.0064*V0) = <font color="limegreen">0.994</font id="limegreen">*<font color="orange">0.994</font id="orange">*(S0/V0) = <font color="limegreen">0.994</font id="limegreen">*<font color="orange">0.994</font id="orange">*T0
0.0167: <font color="limegreen">3.10798</font id="limegreen"> / <font color="orange">6.35007</font id="orange"> = (0.989*S0)/(1.0106*V0) = <font color="limegreen">0.989</font id="limegreen">*<font color="orange">0.989</font id="orange">*(S0/V0) = <font color="limegreen">0.989</font id="limegreen">*<font color="orange">0.989</font id="orange">*T0
0.05 : <font color="limegreen">3.03971</font id="limegreen"> / <font color="orange">6.48444</font id="orange"> = (0.968*S0)/(1.0320*V0) = <font color="limegreen">0.968</font id="limegreen">*<font color="orange">0.969</font id="orange">*(S0/V0) = <font color="limegreen">0.968</font id="limegreen">*<font color="orange">0.969</font id="orange">*T0
0.1 : <font color="limegreen">2.93439</font id="limegreen"> / <font color="orange">6.68975</font id="orange"> = (0.934*S0)/(1.0647*V0) = <font color="limegreen">0.934</font id="limegreen">*<font color="orange">0.939</font id="orange">*(S0/V0) = <font color="limegreen">0.934</font id="limegreen">*<font color="orange">0.939</font id="orange">*T0
0.2 : <font color="limegreen">2.71525</font id="limegreen"> / <font color="orange">7.12234</font id="orange"> = (0.864*S0)/(1.1336*V0) = <font color="limegreen">0.864</font id="limegreen">*<font color="orange">0.882</font id="orange">*(S0/V0) = <font color="limegreen">0.864</font id="limegreen">*<font color="orange">0.882</font id="orange">*T0
0.5 : <font color="limegreen">2.01511</font id="limegreen"> / <font color="orange">8.92629</font id="orange"> = (0.641*S0)/(1.4207*V0) = <font color="limegreen">0.641</font id="limegreen">*<font color="orange">0.704</font id="orange">*(S0/V0) = <font color="limegreen">0.641</font id="limegreen">*<font color="orange">0.704</font id="orange">*T0
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<b>Wie schon von Cleo vorweggenommen, sind die beiden Beiträge etwa gleich groß. Im Fall der Erdbahn ist die benötigte Zeitdauer (0.48944 Jahre) um den Faktor 0.979 kleiner als die Referenzdauer T0 bei der Kreisbahn (0.5 Jahre). Die Änderung der Bogenlänge trägt dazu einen Faktor <font color="limegreen">0.989</font id="limegreen"> bei, und die Änderung der mittleren Geschwindigkeit ebenfalls einen Faktor <font color="orange">0.989</font id="orange">.
Erst bei deutlich größeren Exzentrizitäten beginnt die Änderung der Bogenlänge einen etwas stärkeren Einfluss (stärkeren Abminderungsfaktor) zu haben als die Änderung der mittleren Geschwindigkeit.</b>
D) Hinweise zur Rechnung
Die Fläche des dem Winterhalbjahr entsprechenden Ellipsensegments lässt sich berechnen nach Gleichung (4.6) in O. Montenbruck, Th. Pfleger: Astronomie mit dem Personal Computer, 2. Auflage, Springer 1994. Ein zusätzlicher Faktor 2 ist nötig, weil die Formel nur das Segment vom Perihel bis zum Senkrechten-Schnittpunkt berechnet, während wir das Doppelte benötigen.
In diese Formel geht ein Winkel E ein, die exzentrische Anomalie, die oben als Hilfswinkel mit tabelliert ist. Sie berechnet sich aus der wahren Anomalie ny und der jeweiligen Exzentrizität e mit der Formel
cos E = (cos ny + e)/(1 + e cos ny) (Wikipedia),
was sich in unserem Fall wegen ny = ±90° vereinfacht zu
cos E = e
Alternativ kann die Formel
Segment = cd/4 * [ arccos(1-2h/c) - (1-2h/c) * #8730;(4h/c - 4h²/c²)]
mit c = 2*a und d = 2*b (Rechneronline) verwendet werden, wenn man als Segmenthöhe h die Entfernung vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt der Ellipse setzt: h = a (1 - e)
Es ergibt sich
Segment = a^2 sqrt(1 - e^2) [ arccos(e) - e * sqrt( 1 - e^2 )]
Taschenrechner auf Radian stellen.
Für die Bogenlänge gibt es keine geschlossene Formel. Betreffs geeigneter Formeln unter Verwendung von Reihenentwicklungen kann man sich bei Interesse in der Facharbeit von Ph. Düren informieren. Das Problem ist, dass das die Bogenlänge beschreibende Integral über
sqrt( 1 - e^2*sin(t)^2 )
(wobei der Parameterwinkel t vom Anfang bis zum Ende des Bogenstücks läuft, für den vollen Umfang von 0 bis 2 pi)
nicht elementar lösbar ist. Statt mich mit Reihenentwicklungen abzugeben, habe ich das Integral einfach numerisch gelöst. Das kann man mit einem geeigneten Taschenrechner machen, oder heutzutage von WolframAlpha erledigen lassen. Ein Aufruf des Online-Integrators mittels
integrate sqrt(1 - 0.0001*(sin(t))^2) from 0 to 2 pi
liefert beispielsweise den Umfang einer Ellipse mit der großen Halbachse 1 und der Exzentrizität 0.01 (also 6.28303). Bei der Integration über Teilbögen müssen wegen der Definition des Parameterwinkels t wieder die in der Tabelle angegebenen exzentrischen Anomalien verwendet (und in Radian umgerechnet) werden, z.B.
integrate 2*sqrt(1-0.0001*(sin(t))^2) from 0 to 89.4270*pi/180
um das Ergebnis 3.12151 zu erhalten.
Tschau,
Thomas
