Berechnung des Lichtsammelvermögens

    Hallo,


    ich lese momentan das Buch "Fernrohr-Führerschein in 4 Schritten". Beim genaueren Lesen ist mir jetzt auf Seite 29 etwas aufgefallen, dass entweder so nicht stimmt... oder ich verstehe grundsätzlich etwas falsch.


    Also, dort steht:


    "Die wichtigste Fähigkeit eines Teleskopes ist es, Licht zu sammeln. Diese Fähigkeit steigt quadratisch mit zunehmendem Durchmesser an (da die optisch wirksame Fläche entscheidende ist)."


    Und dann kommt diese Formel:


    "Lichtsammelvermögen = Offnung^2 in mm^2/49"


    ("^" soll hoch bedeuten, also z.b. "mm hoch 2", also "mm im Quadrat")


    Der Ursrpung der 49 ist nicht genauer erläutert, ich gehe mal davon aus, dass damit die menschliche Pupille gemeint ist (Wurzel aus 49 = 7 / Pupille max = 7mm).


    Da setzt es bei mir aus - nach meinem Verständnis berechnet der Autor da Teleskope mit quadratischen Linsen... (und ausserdem müsste ich eine quadratische Pupille haben [:0]).


    Da das Ganze ja nun eigentlich Kreise sind, muss ich doch eigentlich dir Kreisfläche berechnen, also


    Fläche = PI * Radius^2


    Das verändert die Formel (und die dann im Buch auf der selben Seite angegebene Vergleichstabelle) allerdings dramatisch. Fangen wir mal bei der menschlichen Pupille an. Das sind dann nicht 49mm^2, sondern nur f = 3,14*3,5^2 / f = 3,14 * 12,25 / f = 38,465 mm^2 - sagen wir also mal grob 38,5mm^2 Pupilenfläche.


    Nach meinem Verständnis wäre also die rictige Formel:


    Lichtsammelvermögen = (PI * RadiusDerÖffnung ^ 2) / (PI * 3,5^2)


    oder für's überschlägige Rechnen:


    Lichtsammelvermögen = (3,14 * RadiusDerÖffnung^2) / 38,5


    Bei einem (perfekten) 70mm Refraktor wäre das also:


    Lichtsammelvermögen = (3,14 * 35 ^ 2) / 38,5
    Lichtsammelvermögen = (3,14 * 1225) / 38,5
    Lichtsammelvermögen = 3846,5 / 38,5
    Lichtsammelvermögen = 99,9


    Bei einem (perfekten) 200mm Refraktor [:D] wären es:
    Lichtsammelvermögen = (3,14 * 100 ^ 2) / 38,5
    Lichtsammelvermögen = 815,6


    Nun, da ich das ausgerechnet habe stutze ich. In der Tat entspricht das fast exakt den in der Tabelle im Buch angegebenen Werten nach der oben genannten Formel. Dort ist für 70mm eine Wert von 100 und für 200mm ein Wert von 816 angegeben. Die Differenz zu meinen Werten dürften Rundungsdifferenzen sein.


    Mmmmhhhh... Ist es etwas so, dass dadurch, dass die "quadratischen Linsen" auf beiden Seiten der Gleichung angewendet werden, das Verhältnis gleich bleibt, d.h. der eigentlich Fehler im einzlenen Glied irrelevant ist? Die Formel ist also nur eine Vereinfachung, um schneller Rechnen zu können. Sieht fast so aus... und scheint bei weiterem Nachdenken auch logisch.


    OK, holen wir mal die Mathe-Kentnisse hervor (ob das noch klappt...):
    Also, schauen wir mal, ob wir meine Formel vereinfachen können:


    Lichtsammelvermögen = (PI * Öffnung/2 ^ 2) / (PI * 3,5^2)
    ... PI kann ich kürzen
    Lichtsammelvermögen = (Öffnung/2 ^ 2) / (3,5^2)
    ... jetzt stelle ich den Bruch mal (wahrscheinlich umständlich) um:
    (Öffnung/2 ^ 2) / (3,5^2)
    erstmal was weniger schreiben Öffnung = Ö;
    die 3,5 ist eigentlich der Radius der menschlichen Pupille,
    also (p/2). Dann sieht's zunächst komplizierter aus:
    (Ö/2 ^ 2) / (P/2 ^ 2)
    aber kommt irgendwie schon vertrauter vor. Ein wenig umstellen:
    (Ö^2 / 4 ) / (P^2 / 4)
    "Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man den Divident
    mit dem Kehrwert multipliziert" (thanks, Internet ;)), also:
    (Ö^2 * 4) / (4 * P^2)
    jetzt kann ich wieder die 4 kürzen
    Ö^2/P^2
    Das ergibt:
    Lichtsammelvermögen = Ö^2/P^2


    oops... und siehe da, das ist die Formel aus dem Buch. Also doch keine quadratischen Pupillen [:)]. Es ist also eine Vereinfachung, und zwar offensichtlich eine die genauer ist, weil weniger Rechnschritte und Rundungsdifferenzen anfallen.


    Wie so oft im Leben, hat sich mein Problem also scheinbar durch einfaches Aufschreiben lösen lassen [:D]. Da ich es jetzt aber schon mal geschrieben habe, poste ich es auch. Vielleicht hat ja jemand Kommentare oder findet es nützlich.


    Es läßt sich aber auch festhalten, dass diese Formel wohl nur zur Berwertung des Lichtsammelvermögens im Verhältnis zum menschlichen Auge geeignet ist. Nicht berücksichtigt werden so Sachen wie Obstruktion und Reflektionsgrade. Aus dieser Richtung bin ich auch eigentlich auf das Thema gestossen. Da werde ich später wohl auch mal was weiterrechnen. Zumindest habe ich jetzt wohl verstanden, worum es geht [:D]. (Mann, so viel Mathe nach so vielen Jahren... we hätte gedacht, wozu die Astronomie alles gut ist... [;)]).


    Clear Skies,
    Rainer

    Ein zweidimensionales Objekt wächst nun mal quadratisch im Vergleich zum eindimensionalen, egal ob es sich um einen Kreis, ein Dreieck oder ein Quadrat handelt - und du hast immerhin rausgefunden, dass man Brüche kürzen kann, sogar wenn es sich um transzendent irrationale "Teiler" wie Pi handelt...

    Oh Rainer !


    Da hast du dir aber viel Arbeit gemacht.
    Hier geht es nicht um die Menge, sondern nur um des Verhältnis des Lichtsammelvermögens der Fläche vom Fernrohr, verglichen mit der Fläche der Augenpupille mit 7 mm Durchmesser, wie du schon richtig erkannt hast.
    Ob man das als Quadratfläche oder als Kreisfläche ausrechnet ist egal.
    Das Verhältnis ist bei beiden das gleiche. Daher kann man sich das x Pi ersparen.
    Aber dafür bist du jetzt wieder gut aufgefrischt und kannst dich an die
    folgenden physikalischen Berechnungen freuen.


    Viele Grüße
    Alois

    Hallo Reiner,


    bemerkenswert, wie intensiv Du das ganze nachvollzogen hast. Mir ging es ähnlich, als ich herausfinden wollte an welcher Stelle ich einen Fangspielgel bestimmter Grösse bei einem Teleskop mit einem HS bestimmter Grösser anbringen muss. So ein Durchdenken macht vieles klarer, auch wenn das Rad schon erfunden ist, so ist die Einsicht beim 'Durchdenker' viel wert, finde ich.


    Toll gemacht!

    Hallo beisammen,


    danke für die Kommentare :)


    Klar, ist das Ganze eigentlich trivial - aber das musste ich erst mal Begreifen. Ich habe bestimmt schon 10 Jahre lang so was nicht mehr gerechnet, da war das erstmal für mich 'ne Herausforderung (merkt man meinem Posting bestimmt an ;)). Jetzt bin ich mir aber ziemlich sicher, es richtig Verstanden zu haben und das bietet mir das Gerüst für komplexere Zusammenhänge.


    Gekommen bin ich auf das Thema eigentlich, weil ich das Lichtsammelvermögen eines 150er Refraktors mit einem 200er Newton vergleichen möchte. Da greift aber die obige Formel meiner (mittlerweile festeren) Überzeugung gar nicht mehr, weil hier halt ein perfekter Refraktor (keine Abdunkelung durch den Fangspiegel und Spinne, keine Lichtverluste) vorausgesetzt wird. D.h. für den direkten Vergleich muss ich zumindest die Abdunkelung ordentlich ausrechnen. Und da habe ich jetzt schon oft gehört, dass ein 150er Refraktor gleich viel licht wie ein 200er Newton sammelt, weil letzterer einen 50mm Fangspiegel hätte (wie gesagt, habe ich mehrfach so gehört). Das wiederum glaube ich nun doch nicht, weil die Fläche das 50mm Fangspiegels 1963mm^2 beträgt, die Fläche von 200m Öffnung 31.415 mm^2, d.h. nach meiner noch exisiterenden Meinung müsste die Gesamt-Lichtsammelfläche des Newton somit ~ 29.500mm^2 betragen. Der 150er Refraktor hat aber nur eine Fläche von 17.670 mm^2. Damit wäre der Newton also doch viel Lichtstärker. Es kann aber gut sein, dass ich hier noch so einiges übersehe, das ist das, was ich noch genauer betrachten wollte (hab im Moment nicht mehr genung Zeit ;)). Aber vielleicht gibt es ja hier sogar schon einfache Antworten (die allerdings nicht immer die eigene Erkenntnis ersetzen können).


    Das mal zur Erklärung ;)
    Rainer

    Halo Reiner,


    mir geht's genau so. Ich muss die Gleichung irgendwie selbst herleiten können, um sie wirklich zu verstehen.


    Zum Vergleich 150-er Refraktor zum 200-er Spiegel:


    Beim Spiegel musst du, wie du ja schon geschrieben hast, die Fangspiegelfläche abziehen (und theoretisch auch die der Spinne, aber das ist unter 1% und damit vernachlässigbar). Zusätzlich musst du die Reflextionsverluste der Spiegel rechnen. Ein Hauptspiegel mit normaler Alu /Quatz Beschichtung hat 88% Reflektionsvermögen, die heutigen Fangspiegel haben meist 94%.


    Nehmen wir deinen 50 mm Fangspiegel an, dann bleiben 29.500mm^2 x 0,88 x 0,94 = 24.400 mm^2 übrig, das entspricht einer verlustfreien Öffnung von 176 mm, also immer noch mehr als der 150 mm Refraktor.


    Ein Refraktor hat natürlch auch auf jeder Glas/ Luft Fläche Reflektionsverluste, die aber bei heutigen hochwertigen Vergütungen recht gering sind.

    Hallo Rainer.


    Ja natürlich kannst du noch viel lesen und ausprobieren
    Weil ein Refraktor lässt je nach Glassorte und Vergütung
    von 90% bis 99% Licht durch.
    Ein Spiegel hat in der Regel nur 88 % Reflexion und beim
    Newton sind es 2 x 0,88 also nur noch 77,4 % Licht im Fokus.
    Daher diese unterschiedlichen Ergebnisse.


    Viel Spaß
    Alois

    Hallo nochmal,


    genau - ich denke die ganze Rechnerei hat durchaus praktischen Nutzen. Ich stehe im moment vor der (erfreulichen) Frage welches Teleskop ich mir im Laufe des späteren Jahres leisten kann.


    Für den Einsteiger sind Angebote und Preisunterschiede faszinierend. Wenn ich das mal alles durchrechne, wird aber einiges Klarer. Eine anderer Vergleich: wenn ich einen teuereren 10" Newton nehme (besser Reflexion), dann habe ich evtl. (ohne jede Prüfung geraten ;)) ein sehr ähnliches Lichtsammelvermögen wie bei einem schlechteren 12" Newton. Der gute 10" ist natürlich teurer, aber auch leichter. Wenn ich den also parallaktisch montieren will, schneide ich vielleicht mit einem guten 10" optisch genauso gut aber insgesamt billiger ab als mit einem 12" (wegen der schwereren, sprich teureren, Montierung).


    Mir kommt das so ein wenig vor wie bei Computern (davon versteh' ich wirklich was ;)): alle Welt schaut nur auf die CPU Geschwindigkeit. Je mehr MHz, desto besser. Dabei ist das Quatsch. Die CPU ist nur eine (wenn auch wichtige) Kenngrösse. Aber Rechner mit langsamerer CPU können insgesamt viel schneller sein, wenn der Rest der Abstimmung stimmt...


    Bei den Teleskopen ist der Anfänger (ich zumindest ;)) zunächst mal geneigt auf die Öffnung zu schauen. Je mehr, desto besser. So langsam scheint es mir aber so, als ob das genau so ein Unsinn ist...


    Rainer

    Hallo Rainer!
    Man das ist ja eine Rechnerei... (wir machen das auch gerade in der Schule mit PI und dergleichen) [:)]


    ich finde deine Überlegungen ganz richtig, was du mit dem 10"er und dem 12"er schreibst. Aber dabei solltest du nicht das Auflösungsvermögen vernachlässigen! Ein 12"er kann ja das Licht, was von den Objekten zu uns kommt von zwei viel weiter auseinanderliegenden Punkten zum Fokus vereinigen. Das heißt du siehst mehr details. Außerdem sehe ich das nicht so eng mit dem Fangspiegel. Der schluckt zwar Licht, aber der deckt ja auch genau in der Mitte des Hauptspiegels etwas ab. Wenn du in der Mitte ein bisschen abschattest ist das nicht so schlimm. Aber wenn du einen 2mm kleineren Hauptspiegel hast, dann sumiert sich die Fläche relativ schnell. Nur der Fangspiegel sieht immer so riesig aus...[}:)] aber du hast mit deinen Rechnungen schon recht. Aber ich denke wenn man immer weiter auch in Preis/Leistung nachdenkt wird man immer zum Schluss kommen, dass ein Spiegelteleskop die Ideallösung ist. Mir werden zwar jetzt wieder die Refraktorenliebhaber in den Rücken fallen, aber wenn man ganz kühl kalkuliert, denke ich, dass man beim Spiegel immer besser beraten ist! Der Refraktor repräsentiert halt nur die "Fastidealoptik", die aber teuer herzustellen ist.


    So jetzt habe ich auch meinen Senf dazugegeben! [:D]


    mfG Michael

    So, ich habe nochmal ein bisschen gerechnet und gedacht ;)


    Michael: das mit dem Auflösungsvermögen muss ich mir nochmal in Ruhe anschauen - das habe ich einfach noch nicht (richtig) verstanden. Aber das wird schon noch.


    Stathis & Alois: Eure Antworten zusammen sind sehr interessant. Stathis hat ja (danke!) ausgerechnet, dass des 8" Newton (in seinem Beispiel) eine verlustfreie Öffnung von 176mm hat. Die kann ich aber immer noch nicht mit dem Refraktor vergleichen, weil ich die Reflexionsverluste rechnen muss (danke Alois!). Ich nehme hier mal Alois' Wert von 75%. D.h. von den 176mm Öffnung bleiben nur 3/4 effektiv übrig, also 132mm.


    Jetzt darf ich natürlich auch keinen perfekten Refraktor annehmen, da habe ich ja auch Transmissionsverluste. Nehmen wir mal einen Mittelwert aus dem von Alois genannten, sagen wir mal 5% Verlust, also 95% kommen durch. Demnach haben wir hier eine effektiv wirksamme Öffnung wie bei einem perfekten 142,5mm Refektor.


    ... Stutz... und siehe da, auf einmal sammelt der 150er Refraktor doch mehr Licht als das 200er Newton. Der Vergleich scheint mir übrigens fair. Ich habe gestern Abend Newtons anhand von Datenblättern gerechnet, die erreichen teilweise nur 80% reflexion (billigere Modelle). Ich denke die angenommenen 88% dürften damit genauso im Mittelfeld sein wie die 95% Transmission beim Refraktor.


    Vom Lichtsammelvermögen ist der Refraktor also unter den getroffenen Annahmen (normale, mittlere Qualität) also tatsächlich dem Newton überlegen. Interessant.


    Jetzt gibt es natürlich auch noch andere Werte, wie das Auflösungsvermögen. Die kann ich im Moment noch gar nicht bewerten (da muss ich noch mehr lesen und fragen ;)). Auch der Farbsaum bei achromatischen Refraktor (APO wollen wir mal ob des Preises ignorieren ;)) kann ja wohl ein ziemliches Thema sein.


    Wenn man den Preis betrachtet, müsste der Refraktor ja eigentlich bei allem anderen *deutlich* besser sein. Er ist ja deutlich teuerer als das Newton. Ich bin übrigens weder ein Refraktor- noch ein Reflektor-Liebhaber, dafür weiss ich noch viel zu wenig. Was ich aber schon weiss ist, dass ich irgendwann mal einen richtig großen Refelektor haben möchte, denn ein 12" Refraktor dürfte wohl "Lichtjahre" für mich entfernt sein - und für richtig tolles Deep Sky braucht man so was in der Öffnungsgröße ja wohl ;)


    Rainer

    Rainer,


    ein nicht-APO in Kurzbauweise hat einen derart großen Farbfehler, dass du ihn (außer vielleicht für Spezialanwendungen) so ziemlich vergessen kannst - so ab einem Öffnungsverhältnis von F12 wird das langsam erträglich, das hieße bei 12" eine Baulänge von 3,5 Metern, das würdest du dir auch bei entsprechendem Budget kaum antun wollen...


    Das Auflösungsvermögen ist in erster Linie vom größten Abstand zweier Lichtpunkte abhängig (und dadurch unabhängig von der Obstruktion), das erklärt auch, warum man durch Interferenz zweier Teleskope eine noch höhere Auflösung erreichen kann.
    Es wird i.A. nach Dawes (116 / D) oder Raleigh (138 / D) berechnet, D = Durchmesser in mm - im ersten Fall erhält man den nötigen Abstand in Bogensekunden um einen idealen Doppelstern gerade noch als zwei sich berührende Punkte zu sehen, im zweiten Fall ist dann auch ein Zwischenraum zu erkennen.
    Leider ist dem Auflösungsvermögen in Deutschland durch das seeing meistens bei 0,5 bis 1 Bogensekunde ein Limit gesetzt, so dass Geräte oberhalb von 10" nur selten ihre ganze Leistung bringen können.


    Gruß Christian

    Hallo Christian


    lol ... den 3,5m langen 12" Refraktor will ich haben - samt Sternwarte dazu [;)].


    Kannst Du mir vielleicht sagen, woher die 116 bzw. 138 in den Formlen kommen oder hast eine Fundstelle dazu zur Hand? Falls nicht, suche ich später gerne selbst, bitte keine Arbeit machen :).


    Die Aussage in Bezug auf Seeing in Deutschland und die Auswirkungen auf das Auflösungsvermögen finde ich auch sehr interessant!


    CS, Rainer

    Rainer,


    die Werte wurden (AFAIK) experimentell ermittelt, Herr Dawes schreibt dazu in seinen Memoiren:
    "It is a point of considerable interest to determine the separating power of any given telescopic aperture. Having ascertained about five and thirty years ago, by comparisons of the performance of several telescopes of very different apertures, that the diameters of star-disks varied inversely as the diameter of the aperture, I examined with a great variety of apertures a vast number of double stars, whose distances seemed to be well determined, and not liable to rapid change, in order to ascertain the separating powers of those apertures, as expressed in inches of aperture and seconds of distance. I thus determined as a constant, that a one-inch aperture would just separate a double star composed of two stars of the sixth magnitude, if their central distances was 4.56 seconds; - the atmospheric circumstances being moderately favourable. Hence, the separating power of any given aperture, a, will be expressed by the fraction of 4.56"/a."
    (4,56 musst du wegen inch natürlich noch mit 25,4 multiplizieren.)

    Moin Rainer!


    > lol ... den 3,5m langen 12" Reflektor will ich haben - samt
    > Sternwarte dazu [;)].


    "Refraktor" - nicht Reflektor...
    3,5 m Brennweite ist für einen klassischen FH mit einem solchen Objektiv noch gar nix. Die Brennweite ist immer noch zu kurz, um den Farbfehler erträglich zu halten. Beispiel: Fraunhofers größter Refraktor 1824 hatte ein Objektiv von 244 mm Durchmesser bei einer Brennweite von 4340 mm (f/17,8) - das sind also noch nicht mal 10" Öffnung... Ein Refraktor für Potsdam (Schröder-Repsold 1878/79) hatte 298 mm bei 5200 mm Brennweite (f/17,4). Das sind schon ganz andere Dimensionen...


    > Kannst Du mir vielleicht sagen, woher die 116 bzw. 138 in den
    > Formlen kommen oder hast eine Fundstelle dazu zur Hand?


    Gogle Dich mal durch mit den Begriffen: Airy-Scheibchen, Auflösungsvermögen von Teleskopen, Beugung, Dawes-Limit.


    Die Größe des Beugungsscheibchens in Bogensekunden (a") ergibt sich aus


    a" = 206265" * 1,22 * lambda / D


    (lambda = Wellenlänge des Lichts, hier: 550 nm ; D = Durchmesser des Objektivs in mm)


    Kürzer schreibt man dafür: a" = 138" / D


    Dawes ermittelte empirisch (damals bekannt als scharfäugiger Beobachter) a" = 115,8" / D

    Nur zur "Entwirrung" der Nichtbeteiligten. Ich war fies ;) der "12" RE***FLEK**TOR" war ein Tippfehler. Den hatte ich eben korrigiert ("RE****FRAK****TOR"). In der Zwischenzeit hatte Micha aber wohl schon geantwortet. OK, wieder was gelernt (DAS hätte ich wissen sollen): Posting editieren taugt nicht ;)


    Sorry, Rainer

    Hallo,Winnie
    Beim Kuffner Refraktor 11"f13 müßte man noch f 20 dranhängen[:D],dann ist er praktisch farbfehlerfrei(absolut noch lange nicht),das entspräche f= 9240 mm[:I]
    8Zoll gilt ab f 24, 10Zoll ab f 28, 12 Zoll ab f 38-das kann man mit dem RC-Wert(von Lichtenknecker)berechnen
    wir sind ja alle bequem[}:)]bei der teleskopwahl,nehmen optische Unzulänglichkeiten in Kauf
    denn gerade lange brennweite begünstig reduzierung von Optikfehlern,größere Abbildung von Planeten(auch fotografisch von vorteil(erspart Okularprojektion,gar Barlow)
    Newton :Koma
    Refraktor:Farbfehler

    Hallo Rainer,


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">
    Stathis & Alois: Eure Antworten zusammen sind sehr interessant. Stathis hat ja (danke!) ausgerechnet, dass des 8" Newton (in seinem Beispiel) eine verlustfreie Öffnung von 176mm hat. Die kann ich aber immer noch nicht mit dem Refraktor vergleichen, weil ich die Reflexionsverluste rechnen muss (danke Alois!). Ich nehme hier mal Alois' Wert von 75%. D.h. von den 176mm Öffnung bleiben nur 3/4 effektiv übrig, also 132mm.
    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">


    Hier rechnest Du aber den 8" ganz schön kaputt!![;)]


    Stathis hatte in seiner Formel die Reflexionsverluste schon einbezogen (s.h. ...0,88*0,94...) und dann für den Refraktor positiv angenommen, daß er 100% Transmission besitzt.


    Also der 8" Reflektor hat schon noch eine wirksame "Rest"-Lichtsammelfläche von 176mm Durchmesser und das ist immerhin ein ganzes Zoll mehr als der verlustfrei angenommene 6" Refraktor.


    Zur Auflösung eines System ist die gesamte Öffnungsbreite ausschlaggebend, daß heißt ein 204mm System hat trotz der Obstruktion eine Auflösungsvermögen von 204mm an konstrastreichen Objekten (Doppelsterne, Cassini-Teilung etc.). Anders verhält es sich mit kontrastarmen Details (Jupi-, Saturn-Oberfläche etc.) hier kommt die Obstruktion negativ ins Buch der Reflektoren.


    Gruß
    Winfried

Jetzt mitmachen!

Sie haben noch kein Benutzerkonto auf unserer Seite? Registrieren Sie sich kostenlos und nehmen Sie an unserer Community teil!

Benutzerkonto erstellen Anmelden