Fragen zur trigonometrischen Parallaxenmessung

Servus "Mondkind",

die erste Frage ist recht einfach zu beantworten, denke ich:

Willst du von der Erde aus die Parallaxe messen, dann musst du den Stern auch sehen. Würdest du einmal im Winter messen, wenn der Stern hoch am Himmel steht, dann kannst du ihn im Sommer nicht sehen, da die Sonne perspektivisch zwischen Erde und Stern steht. Ein Vierteljahr kann man aber hinbekommen. Und ja, so hat man dann 1 AE als Grundstrecke uind ich vermute, dass das der Grund war, warum man das als Maßpstab angelegt hatte. Wobei das nicht immer ganz stimmt, denn die Erdbahn ist eine Ellipse. Es ist also Finetuning angesagt. Und man misst vielleicht auch nicht exakt nach einem Vierteljahr (Witterung usw.).

Die zweite Frage müsstest du selber beantworten können. Skizziere mal ein sehr langgezogenes rechtwinkliges Dreieck 1 AE << Sternabstand

Jetzt siehst du, dass du per Tangens rechnen kannst: tan alpha = 1 AE / d_Stern Daraus folgt: d_Stern = 1 AE / arctan alpha

Nimmst du aber den Winkel im Bogenmaß (Du musst umrechnen), dann gilt die Kleinwinkelnäherung: sin alpha = tan alpha = alpha

Du kannst dir den arctan also Sparen und direkt schreiben: d_Stern = 1 AE / alpha Dann noch von AE in Lichtjahre oder Parsecs umrechnen und fertig.

Zur dritten Frage:

Nimm mal ein Blatt Papier, zeichne einen Kreis darauf und leg das Papier auf einen Tisch. Jetzt nimm einen Stern oberhalb des Tischs Fleck an der Zimmerdecke). Nimm zwei lange Stangen (Bambusstecken aus dem Garten, Draht oder stlls dir in Gedanken vor, indem du mit zwei Bleistiften vom Papier aus in Richtung Fleck zeigst - einen vom Kreismittelpunkt ausgehend, den anderen irgendwo auf dem Kreisumfang. Du wirst jetzt immer einen Kreisdurchmesser finden, der senkrecht zum Fleck steht. Du musst nur den Kreisdurchmesser passend drehen. Ist schwerer zu beschreiben, als zu sehen, wenn du's dir in 3-D bastelst (geht auch in kleinerem Maßstab, der Fleck muss nicht an der Decke kleben.

Liebe Grüße,

Christoph

Hi Moonchild,

Parallaxenwinkel misst man nicht im Verhältnis zur Sonne, sondern als scheinbare Wanderung eines Sterns am Himmel im Vergleich zu Nachbarsternen (als Referenz). Dabei muss man halt wissen, wie groß der senkrechte Abschnitt der Basis zur Sichtlinie ist.

Du zerlegst die Parallaxe-Entfernungsrechnung in zwei Teilaufgaben: Berechnung der Basislänge (max. sind 2AE möglich) und Berechnung der eigentlichen Parallaxe. Dann bist du nicht auf 2AE angewiesen, sondern kannst z.B. auch schon nach 2 oder 4 Monaten die zweite Messung machen. Denk z.B. daran, dass Beobachtungen auch wetterabhängig sind. Im Grunde sind es drei Teilaufgaben:

a) Sekantenlänge der Erde auf der Erdbahn in Abhängigkeit der Beobachtungszeitpunkte (lustig, da die Erdbahn eine Ellipse ist, näherungsweise ein Kreis)

b) senkrechter Abschnitt (Projektion) dieser Basis in Bezug zur Sichtachse

c) Parallaxendreieck.

Zitat von Lucifugus

Würdest du einmal im Winter messen, wenn der Stern hoch am Himmel steht, dann kannst du ihn im Sommer nicht sehen, da die Sonne perspektivisch zwischen Erde und Stern steht.

Wenn man den Himmelsquadraten (als Untersuchungsbereich) nimmt, der senkrecht zur Ekliptik liegt (also grob der Bereich der zirkumpolaren Sterne hier auf der Nordhalbkugel) geht das an beliebigen Tagen. Ich glaube nicht, dass das maßgeblich für die Festlegung war, sondern einfach, dass $\pi $ ebenfalls auf den Kreisradius bezogen ist und nicht auf den Kreisdurchmesser. Aber wissen tue ich das auch nicht.

Die Parallaxenwinkel entsprechen eins zu eins dem Winkelversatz beim stereoskopischen Sehen zwischen linken und rechtem Auge. Für eine Schlussbemerkung vielleicht eine humorvolle Anlehnung and 3D-Kino mit Brillen, für diejenigen, die mit Astro nichts am Hut haben.

Zitat von Kalle66

Parallaxenwinkel misst man nicht im Verhältnis zur Sonne, sondern als scheinbare Wanderung eines Sterns am Himmel im Vergleich zu Nachbarsternen (als Referenz). Dabei muss man halt wissen, wie groß der senkrechte Abschnitt der Basis zur Sichtlinie ist.

Du zerlegst die Parallaxe-Entfernungsrechnung in zwei Teilaufgaben: Berechnung der Basislänge (max. sind 2AE möglich) und Berechnung der eigentlichen Parallaxe. Dann bist du nicht auf 2AE angewiesen, sondern kannst z.B. auch schon nach 2 oder 4 Monaten die zweite Messung machen. Denk z.B. daran, dass Beobachtungen auch wetterabhängig sind. Im Grund sind es drei Teilaufgaben:

a) Sekantenlänge der Erdbahnveränderung in Abhängigkeit der Beobachtungszeitpunkte (lustig, da die Erdbahn eine Ellipse ist, näherungsweise ein Kreis)

b) senkrechter Abschnitt (Projektion) dieser Basis in Bezug zur Sichtachse

c) Parallaxendreieck.

Alles anzeigen

Servus Kalle,

kein Widerspruch ;-). In der Schule wird (jedenfalls bei mir an der Schule, auch in der Q12 in der Lehrplanalternative Astrophysik) als Schema aber normalerweise das Dreick Sonne-Erde-Stern verwendet (mit der Vereinfachung, dass die Erdbahn ein Kreis ist und dass natürlich das Dreieck rechtwinklig ist, also mit passender Lage der Erde. Dann rechnet man klarerweise mit 1 AE als Basisseitenlänge.

Natürlich kann man auch zwei beliebige Punkte der Erdbahn nehmen und dann den senkrechten Abschnitt (die Projektion) nehmen.

Als Messvergleichspunkt wird in der Schule der Einfachheit halber ein "unenedlich" weit entferntes Objekt genommen, das also eine nichtmessbar kleine Parallaxe hat.

Mit diesen Vereinfachungen wird die Geometrie klar und ist leichter nachvollziehbar. Der Umstand, dass man immer eine Strecke in der Ekpliptikebene finden kann, deren beide Endpunkte ein rechtwinliges Dreieck mit dem Stern bilden, fällt bereits vielen Schülerinnen und Schülern meiner Erfahrung nach schwer. Umso schwerer ist die geometrische Vorstellung, wenn ich die Strecke auf die senkrechte projezieren muss (wenn die Strecke eben kein rechtwinkliges Dreieck bilden würde.

Das alles hatte ich mit "Fine-Tuning" gemeint. Inklusive, dass die Erdbahn eine Ellipse ist und die Streckenlänge zwischen zwei Punkten auf der Ellipse nicht so trivial zu berechnen ist wie bei einem Kreis.

Die Frage ist, wie exakt "Moonchild" die Frage beantwortet haben möchte. Ich fange daher bei sowas "didaktisch reduziert" an.

Liebe Grüße,

Christoph

Christoph,

klar kann man vieles vereinfachen und auf ein 2D-Model reduzieren. Vor allem per Kreis anstelle von Bahnellipse. Aber selbst in einer Schularbeit erwarte ich, dass man das 3D-Problem zumindest mal beschreibt, bevor man es auf 2D und Sonderfälle reduziert.

Falls die Schularbeit mit einem 15-Minuten-Vortrag einher geht, täte ich hier sogar vorschlagen per Pappscheibe und Schaschlik-Holzspieße oder Fäden (zu dem Stern) ein 3D-Model zu erstellen, damit das Ganze räumlich verständlich wird. Auf die Pappscheibe münzgroß die Erde malen, zentral eine Achse (Sonne) und die Spieße/Fäden für die Blickrichtung. Damit kann man kurz herumspielen: Vermessung von Sternen in der Bahnebene vs. Sterne schräg oberhalb oder senkrecht zur Bahnebene ... und wie man die Pappscheibe dreht, um ein halbes Jahr zu simulieren. Ich wette, wenn man in einem Vortrag das vernünftig visualisiert, ist man nicht weit von einer Bestnote entfernt. Vor allem hilft es dem Autor selbst, zu verstehen, wo welcher Winkel ist.

Die Sekantenlänge im Kreis (Sonderfall Hallbmesser) ist mathematisch nicht schwieriger als die Parallaxenformel. Je nach Umfang der Arbeit kann man das ausführen oder einfach nur darauf hinweisen, um dann den Sonderfall abzuarbeiten. Mit der Begründung: Der Sonderfall ist immer möglich (bis aufs Wetter) und liefert die beste Messauflösung.

Übrigens wurden für die ersten Parallaxen-Messungen die Sterne Wega und 61 Cygni genommen. Diese sind bei uns das ganze Jahr zu beobachten. Dabei müssen allerdings Korrekturrechnungen vorgenommen worden sein. Schließlich hat man keinen festen Himmelshintergrund und wusste ja auch nicht die Entfernungen der Nachbarsterne. Die Aufgabe war schon ein wenig kniffelig.

Gruß Helmut

Ob Sinus oder Tangens ist bei solch kleinen Winkeln Hubbelbubbel. Da es ja kein Millimeterpapier als Himmelshintergrund gibt, mussten die frühen Astronomen also mehrere Sterne nehmen und deren Stellung zueinander genau festhalten. Aus der Kombination der Beobachtungen konnten sie errechnen, welcher Stern sich am deutlichsten verschoben hatte. So genau war das natürlich nicht, weil ja alle Sterne Parallaxen unbekannter Größe aufweisen.

Sterne, die weit von der Ekliptik entfernt sind eignen sich besser, weil sie einen kleinen Kreis vor dem Himmelshintergrund beschreiben. Sterne auf der Ekliptik pendeln nur auf einer Geraden. Mit dem 2-dimensionalen Kreis können die Differenzrechnungen genauer werden.

Gruß Helmut

Servus Monnchild,

wenn es eine Seminararbeit ist, dann musst du natürlich tiefer wühlen. Aber auch hier gilt: je mehr Informationen du lieferst, umso mehr Hilfe kannst du auch zurückbekommen. Beispielsweise: Seminararbeit in welchem Bundesland? Ich kenne nur die Anforderungen in Bayern, nicht von anderen Bundesländern.

Was Literatur zur Parallaxenmessung angeht, ist das Grundproblem halt schon seit gefühlter Ewigkeit gelöst. Es ist elementare Geometrie und war schon zu Tycho Brahes Zeiten prinzipiell klar, wie das gehen würde. Tycho Brahe hat deshalb ja versucht, so genau wie möglich Sternorte zu vermessen, da er nicht glaubte, dass das Sonnensystem heliozentrisch ist. Er wollte zeigen, dass es keine Parallaxen gibt, da die Erde ruht. Daher hatte Kepler als sein Nachfolger so viele exakte Positionsbestimmungen auch von Planeten relativ zu den Sternen, woraus er seine Gesetze ableiten konnte.

Wenn, dann ist aktuell, wie die extrem exakten Messungen z. B. von Gaia die Parallaxe rausrechnen, denn oft ist die Eigenbewegung deutlich größer als die Parallaxe. Bei manchen Sternen wird ja auch ein Scheibchen erkannt (Beteigeuze zum Beispiel) und die Parallaxenbestimmung wird dadurch auch erschwert. Bei erdgebundenen Systemen durch das Seeing, die Luftunruhe, selbst bei adaptiven Optiken.

Eine Seminararbeit basierend auf die Geometrie der Parallaxenmessung an sich wäre mir als Lehrer zu dünn (in Bezug auf die W-Seminare hier in Bayern). Wenn man aber die realen Schwierigkeiten erörtert, alsi die Fehlerbreite der Einzelmessungen und wie man die Daten dann so bereinigt, dass man sauber den Abstand berechnen kann, dann ist es ein schönes, offenes Thema. Was die reine Geometrie angeht, würde ich dir als Literatur ein Standardwerk zur Astronomie empfehlen. Suche Kontakt zu Physikstudenten, die sich im Bereich Astronomie/Astrophysik vertiefen und frag, was sie dir empfehlen würden. Du kannst auch Kontakt zu Wissenschaftlern aufnehmen. In Bayern ist das explizit erwünscht (Experten sollen mit einbezogen werden und gesucht werden).

Liebe Grüße,

Christoph

Moonchild

Bei kleinen Winkel unter 1° ist egal, ob du Sinus (Höhe im Einheitskreis), Tangens oder einfach die Bogenlänge des Kreissegments nimmst.

Der Tangens teilt den Sinus durch den Cosinus. Aber der Cosinus von 1° ist doch praktisch immer noch 1 (gennau 0,9998). Auch ist der Kreisbogen für so kleine Winkel wie eine Gerade, die senkrecht zur Grundlinie steht und damit der Höhe (dem Sinus) entspricht. Im Einheitskreis ist die Bogenlänge L für einen kleinen Winkel $\alpha $ in Grad
$\sin \alpha \approx L = \alpha \cdot \frac{2\pi}{360°}$

Wenn man schon annähert, dann nimmt man einfach die Bogenlänge und kommt ganz ohne Sinus oder Tangens aus. Ansonsten ist es eine Frage, wo der rechte Winkel angesetzt wird, ob Sinus oder Tanges zu nehmen ist.

Hallo moonchild,

auch wenn Christoph das mit dem Kontakt zu Wissenschaftler*innen aufnehmen gerne sieht - wir von den Pressestellen der Forschungsinstitute fangen dann immer zu stöhnen an, denn die kontaktierten Wissenschaftler*innen leiten solche Anfragen meistens kommentarlos an ihre "Erklärbären" weiter. Und da es leider immer wieder vorkommt, dass die anfragenden Schüler*innen bei solchen Gelegenheiten dann nicht einfach nur auf der Suche nach Literatur und Tips sind, sondern von uns ihre Hausaufgaben gemacht haben möchten ohne daß sie sich selber näher damit beschäftigen, ist sowas bei unsereins auch nicht immer beliebt.

Die Sache ist die: Niemand, wirklich niemand in der Wissenschaft macht diese nicht mehr vereinfachten Parallaxenrechnungen in 3D per Hand und kaum jemand wird dir aus dem Stegreif erklären können, wie das geht ohne selber erstmal nachzuschlagen - und dann findet man das erstmal nirgends. Die Rechnungen haben es nämlich durchaus in sich. Wir haben das vor einiger Zeit mal nicht mit der jährlichen Parallaxe sondern mit der Parallaxe für ein erdnahes Objekt, das zeitgleich von zwei Standorten auf der Erde beobachtet wird, durchexerziert. Das Ergebnis findest du hier für die Schule aufgearbeitet: http://www.wissenschaft-schule…steroiden-apophis/1311287

Ähnliche Projekte findest du bei Google auch für den Mond.

Viele Grüße

Caro