Funktion für die Geschwindigkeit der Planeten

Moinsen VegaPiet,

ich hoffe mal wir gehen davon aus, daß sich deine Planeten auf Ellipensbahnen um die Sonne und nicht um die Erde bewegen

Um an die Bahngeschwindigkeit eines Himmelskörpers zu kommen, mußt du "nur" das Keplerproblem lösen, das ist allerdings leichter gesagt als getan. Was du suchst, hört auf den Namen Vis-Viva-Gleichung. Das ganze hat allerdings einen Haken: Als Input brauchst du den jeweiligen Abstand der beiden Körper (im Zweifelsfalle als als Funktion der Zeit) und da beißt sich dann die Katze in den Schwanz...

In diesem Sinne gibt es abgesehen vom Spezialfall Kreisbahn keine einfache analytische Lösung, stattdessen werden die Bewegungsgleichungen mit numerischen Integrationsverfahren gelöst.

Viele Grüße

Caro

Servus "VegaPiet",

es wäre hilfreich zu wissen, was deine Vorkenntnisse sind und wofür du nach so einer Funktion suchst...

Wenn du die Masse des Planeten als vernachlässigbar gegenüber der Masse des Sterns annimmst, vereinfacht sich das Problem ein Bisserl. Ich nehme an, dass du ein Schüler bist? Wenn du die Ellipsengeometrie nutzt, um den Abstand des Planeten vom als punktförmig angenommenen Zentralkörper für jeden Punkt der Bahn zu berechnen, kannst du über den Energieerhaltungssatz die kinetische und die potentielle Energie jedes Bahnpunktes bestimmen (ihre Summe ist konstant). Über die kinetische Energie erhältst du den Geschwindigkeitsbetrag. Wenn du die Umlaufzeit kennst, kannst du über Kepler II sehr einfach das Verhältnis der Geschwindigkeiten im Perihel und Aphel bestimmen (da sind die überstrichenen Flächen näherungsweise rechtwinklige Dreiecke. Wenn du die Umlaufzeit wiederum kennst (oder über Kepler III und die große Halbachse die Umlaufzeit bestimmen kannst), dann kannst du über die Durchschnittsgeschwindigekt eine zweite Gleichung aufstellen und damit die beiden Geschwindigkeiten im Perihel und Aphel bestimmen. Das mache ich (in Bayern) mit meinen 10. Klassen im naturwissenschaftlichen Zweig. Allerdings höre ich da dann damit auch schon auf.

Du willst ja mehr...

Hast du also den Geschwindikeitsbetrag im Perihel (und im Aphel), kannst du für diese beiden Punkte der Bahn die kinetische Energie berechnen. Im Aphel ist sie minimal, im Perihel maximal. Die Differenz ist also die potentielle Energie im Perihel.

Über das Potential einer Punktmasse (Sonne als Zentralmasse) kannst du jetzt die potentielle Energie abhängig vom Abstand zum Zentralkörper berechnen. Die ziehst du von der maximalen kinetischen Energie ab und kannst so dann den Geschwindigkeitsbetrag berechnen. Allerdings musst du ja vorher dich soweit in Ellipsengeometrie auskennen, dass du den Abstand zwischen F (Brennpunkt) und P (Punkt auf der Ellipse) berechnen kannst. Das geht m.E. am "einfachsten" über den Umkreis der Ellipse – siehe z. B. hier: https://www.rainerstumpe.de/HTML/ellipse.html

Problem: wenn du die Winkelgeschwindigkeit suchst, dann musst du ja auch den Richtungsvektor auf der Ellipse kennen, also die Tangente auf die Ellipse im Punkt P bilden und daraus dann per Projektion auf die Tangente eines Kreises um den Brennpunkt, der auch durch P geht, dann die Geschwindikeitskomponente im rechten Winkel zur Linie FP berechnen... Alles ziemlich komplex.

Einfacher geht es vermutlich (als numerisches Verfahren) über den Drehimpulserhaltungssatz (aus dem ja Kepler II folgt). Oder direkt Kepler II numerisch/grafisch über den Flächeninhalt.

Oder, vielleicht am elegantesten, wenn man keine zu große Genauigkeit verlangt: du machst den Trick von Ptolemaeus und nimmst statt der Ellipse eine Kreisbahn, setzt die Sonne aber etwas aus dem Mittelpunkt hinaus (Ptolemaeus hatte das geozenteisch gemacht, weshalb er dann auf Wpizyklenbahnen kam, die wir heliozentrisch ja nicht brauchen). Jetzt kannst du (was Ptolemaeus nicht getan hat) mit den über Kepler II bestimmten Geschwindigkeiten im Perihel und Aphel arbeiten und auf der Kreisbahn über den Abstand von der Sonne die potentielle und kinetische Energie jeweils bestimmen. Du näherst die Ellipse also durch einen minimal verschobenen Kreis an (das geht, wenn die Exzentrizität eben sehr klein ist wie bei der Erdbahn). Nicht ganz exakt, aber gar nicht mal sooo schelcht (ich weiß ja nicht, wofür du das brauchst).

Wie Caro schon schrieb: numerische Verfahren sind eigentlich das Mittel der Wahl. das ist einfacher. Und man kann dann auch eine nicht vernachlässigbare Planetenmasse verwenden und beide Körper um den Brennpunkt sich bewegen lassen (erweiterte Keplergesetze) und auch mit mehr als zwei Körpern modellieren. Kennst du dich mit numerischen Verfahren / Kleinschrittmethoden aus? Kannst du über die Kraft (Gravitation) und Bewegungsrichtung machen (innerhalb eines sehr kurzen Zeitraums delta t nimmst du an, dass die Kraft und damit die Beschlunigung konstant sei. Damit kannst du berechnen, wie sich innerhalb von delta t die Geschwindigkeit ändert. Dann tust du so, als sei die geschwindigkeit im Zeitraum delta t konstant und kannst so die Ortsänderung bestimmen. Mit dem so erhaltenen neuen Ort bestimmst du die nun wirkenden Kraft bzw. Beschleunigung und machst das wieder und wieder und wieder. Man kann das Verfahren noch mit vielen Tricks optimieren, wénn du aber delta t sehr klein nimmst, kann der Computer einen Umlauf gut modellieren. Das würde ja reichen.

Auch das mache ich mit meinen 10. Klassen, aber nur in einer Dimension (z. B. freier Fall mit Reibung oder Rakete mit Luftreibung, Masseverlust und abenehmendem Luftdruck mit der Höhe, aber alles nur auf einer Geraden. Du müsstest das hier in einer Ebene in kleinen Schritten machen, also über Vektoren für Beschleunigung, Gschwindigkeit und Ort.

Liebe Grüße,

Christoph

Hallo,

Eine generelle Beschreibung der Ephemeridenrechnung :

http://astrowww.phys.uvic.ca/~tatum/celmechs/celm10.pdf

Clear Skies,

Gert