Zwei Fragen zu Kosmologie

Günter,
ich kann Deinen Ausführungen leider überhaupt nicht folgen.

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Zwei leere FRW-Universen - eins statisch, das andere nicht - ist ein Widerspruch in sich.
Es kann nur eines geben.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Nein. Die Friedmann-Gleichung hat mehrere gültige Lösungen für leere Universen.

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Du kannst nicht willkürlich in der ersten Friedmann Gleichung die Energiedichten und H gleich Null setzten.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Ich habe weder die Energiedichte noch H „willkürlich“ gleich Null gesetzt.
Rho = 0 war vom TO vorgegeben, der nach dem leeren Universum gefragt hat.
H = 0 ergibt sich mit Notwendigkeit aus der Friedmann-Gleichung, wenn man rho = 0 in die Gleichung einsetzt und ein flaches Universum annimmt (k = 0).

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Das leere FRW-Universum wird beschrieben durch H² = -k/a³.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Die Friedmann-Gleichung für das leere Universum lautet eigentlich: H² = -kc²/a².

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Daraus folgt k = -1.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Unter anderem, denn ganz offentlich gibt es noch eine weitere Lösung, nämlich k = 0.
Für k = 0 folgt H² = 0 und somit H = 0 (statisches Universum).
Außerdem: Für k = -1 folgt H² &gt; 0 und somit entweder H &gt; 0 (gleichförmig expandierendes Universum) oder H &lt; 0 (gleichförmig schrumpfendes Universum).
Das sind die 3 Möglichkeiten, von denen ich schon ganz am Anfang gesprochen habe. Sie ergeben sich aus einfacher Arithmetik.

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Auch hier gilt, du kannst nicht willkürlich zwei statische FRW-Universen definieren, eins mit Lambda und eins ohne Lambda.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Doch das kann ich, weil beides gültige Lösungen der Friedmann-Gleichung sind.

Viele Grüße
Johannes

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Atlas</i>
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Ich habe weder die Energiedichte noch H „willkürlich“ gleich Null gesetzt.
Rho = 0 war vom TO vorgegeben, der nach dem leeren Universum gefragt hat.
H = 0 ergibt sich mit Notwendigkeit aus der Friedmann-Gleichung, wenn man rho = 0 in die Gleichung einsetzt und ein flaches Universum annimmt (k = 0).<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
Hallo Johannes,

k = 0 kannst du nicht annehmen und gleichzeitig rho = 0 setzen. Wie dir sicherlich bekannt ist, ergibt sich k aus dem Quotienten der Energiedichten (rho + rho_Lambda)/rho_kritisch (wobei ich den Strahlungsdruck vernachlässigt habe). k = 0 erfordert (rho+ rho_Lambda)/rho_kritisch = 1. Deine "Lösung" eines leeren Universums mit H = 0 und k = 0 erfordert somit 0/0 = 1 und ist damit ad absurdum geführt.

Wenn man in der Gleichung x = a + b +c die gesuchte Lösung x, sowie a und b Null setzt, braucht man diese Gleichung nicht. Wenn du eine beliebige Gleichung dieser Art hast, kannst du nach deiner Methode eine beliebige Variable herausgreifen und behaupten, die sei Null indem du alle anderen Variablen Null setzt.

Du kannst nicht den Wert von k berechnen, indem du H, rho und Lambda Null setzt.
Einen Wert für k erhälst du für das leere Universum mit der Lösung H² = -kc²/a². H = 0 ist nur dann eine Lösung der 1. Friedmann Gleichung, wenn sich rho und Lambda wegheben.

Ferner müssen beide Friedmann Gleichungen konsistent sein. Wenn die Lösung der 1. FGl H = 0 ist muß in der 2. FGl die 2. Ableitung des Skalenfaktors ä = 0 sein (Voraussetzung für statisch). Diese Bedingung ist jedoch nicht erfüllt, denn mit rho = Lambda = 0 ist ä eine Funktion von p. Der Druck p wirkt wie rho gravitativ anziehend.

Du hast dich da ein bißchen verrannt, was vorkommen kann, ist mir auch schon passiert. Falls ich dich nicht überzeugen kann, dann zeige doch bitte hier eine Referenz, die deine postulierte Lösung der 1. FGl belegt. Zu "empty universe" findest du etliche Artikel.

Grüße
Günter

Hallo Günter,

die Minkowski-Raumzeit ist schon eine Lösung der Vakuum-Feldgleichungen (rho=0, p=0, Lambda=0). In dem Fall ist der Raum flach (k=0) und die Raumzeit ist auch flach. Die Hubble-Konstante ist H=0 und der Skalenfaktor a(t)=const.

Allerdings gibt es in der Minkowski-Raumzeit keinen Urknall, d.h. keinen Zeitpunkt mit a=0. Wenn man annimmt, dass es einen Zeitpunkt t=0 mit a=0 gibt, bekommt man deine Lösung mit k=-1 und a(t)=H_0*t, H_0 ungleich Null. Allerdings ist auch k=0, H_0=0 und a(t)=const. (ungleich 0) eine Lösung. Siehe Abschnitt 4.6.4 Empty Universe in dieser Referenz:

http://www.ita.uni-heidelberg.…mology_2011/Chapter_4.pdf

Die von dir erwähnte Gleichung

(rho+ rho_Lambda)/rho_kritisch = 1 (*)

bei k=0, die mit H=0 zu 0/0=1 führt, ist ursprünglich

H^2 = (1/3)*(8*pi*G)*(rho+ rho_Lambda) - kc^2/a^2 (**)

siehe Gleichung (4.26) in der Referenz oben.

Wenn k=0 ist und H nicht 0, bekommt man mit

rho_kritisch = 3H^2/(8*pi*G)

genau die von dir erwähnte Gleichung (*). Aber k=0, H=0, rho=rho_Lambda=0 ist ebenfalls eine Lösung von (**).

Viele Grüße
Mark

Hallo Mark,

vielen Dank für den Link, muß ich mir genauer anschauen. Auf die Schnelle sehe ich Omega_k = 1, was k = -1 impliziert und daß dieses Universum expandiert, demnach die Lösung, von der ich gesprochen habe.

Aber schön, daß du dich an dieser Diskussion beteiligst!

Grüße
Günter

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: M_Hamilton</i>
die Minkowski-Raumzeit ist schon eine Lösung der Vakuum-Feldgleichungen (rho=0, p=0, Lambda=0). In dem Fall ist der Raum flach (k=0) und die Raumzeit ist auch flach. Die Hubble-Konstante ist H=0 und der Skalenfaktor a(t)=const.
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
Hallo Mark,

unter 4.6.4 Empty Universe wird das leere Universum mit H &gt; 0, rho = 0, Lambda = 0 und k = -1 (hyperbolische Geometrie) beschrieben. Wie kommst du auf H = 0, k = 0 und a(t) = const.?

Dieses Universum und nicht Johannes' Universum (mit H = 0, k = 0, ...) ist mathematisch äquivalent mit dem Milne Universum mit flacher Minkowski Raumzeit (euklidische Geometrie), s. Chapter 4 "The empty universe" in der Dissertation von Tamara Davis. Dazu hatte ich schon weiter oben im Thread geschrieben. Es expandiert, ist also nicht statisch, wie das von Johannes postulierte Universum mit H = 0, rho = 0, Lambda = 0 und k =0.

Milnes expandierende flache Minkowsky Raumzeit wird beschrieben durch die spezielle Relativitätstheorie. Man hat witzigerweise erst später festgestellt, daß sie auch aus einer Koordinatentransformation des leeren FRW-Universums hervorgeht.

Grüße
Günter

Hallo Günter,

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: GünterD</i>

unter 4.6.4 Empty Universe wird das leere Universum mit H &gt; 0, rho = 0, Lambda = 0 und k = -1 (hyperbolische Geometrie) beschrieben. Wie kommst du auf H = 0, k = 0 und a(t) = const.?

<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Das stimmt, das war vielleicht etwas missverständlich. Gleichung (4.54) in Abschnitt 4.6.4 hat die von dir genannte Lösung und die Lösung H_0=0, a(t)=const. (die dort nicht genannt wird).

Genauer gesagt folgt Gleichung (4.54) aus der ersten Friedmann Gleichung (4.21) durch die Implikationen

(4.21) -- &gt; (4.26) --&gt; (4.28) --&gt; (4.36) --&gt; (4.54)

Wenn man die erste Friedmann Gleichung zusammen mit der Skalierung von rho_m, rho_r, rho_Lambda in Abhängigkeit von a(t) hat, braucht man die zweite Friedmann Gleichung nicht (s. Absatz am Ende von Abschnitt 4.2).

H=0 (d.h. a(t)=const.), rho_m=rho_r=rho_Lambda=0 und k=0 ist eine Lösung der ersten Friedmann Gleichung in der Form (4.26).

Eine Referenz ist noch:

Tevian Dray, Differential Forms and the Geometry of General Relativity, Abschnitt 9.7

Google Books Link:

https://books.google.se/books?…edmann%20equation&f=false

Viele Grüße
Mark

Kann ich jetzt nachvollziehen. Mark, du hast mich überzeugt, danke für die Mühe.

Derjenige, der sich verrannt hat, bin ich. Tut mir leid, Johannes.

Grüße
Günter

Hallo Mark und Johannes,

nachdem der von dir verlinkte Artikel "Friedmann-Robertson-Walker Universe" nur eine Lösung zeigt, habe ich bei einem Experten auf diesem Gebiet nachgefragt:

<i>Minkowski space is not another solution, it is the same solution, just expressed in different coordinates with a different foliation into homogeneous and isotropic space-like slices.</i>

Die vermutete zweite Lösung wurde nicht erwähnt, weil es sie nicht gibt. Stattdessen hat man je nach Wahl der Koordinaten hyperbolische Geometrie und damit negative Krümmung (das weiter oben erwähnte expandierende Milne Universum) oder mit einem raumartigen Schnitt konstanter Zeit dieses Hyperboloids den flachen Minkowski Raum. Dies jeweils in Minkowski Koordinaten.

Einfach gesagt, es gibt nur <i>eine</i> Lösung der Friedmann Gleichungen, weil es nur <i>eine</i> Minkowski Raumzeit gibt.

Grüße
Günter

Hallo Günter,

ja, es gibt nur drei (einfach-zusammenhängende, vollständige) Vakuum-Lösungen mit konstanter Raumzeit-Krümmung (s. den Google Books Link oben):

Lambda = 0: Minkowski
Lambda &gt; 0: de Sitter
Lambda &lt; 0: anti-de Sitter

D.h. wenn man annimmt, dass die Raumzeit-Krümmung konstant ist, ist die Raumzeit-Metrik durch die kosmologische Konstante Lambda bestimmt (die Schwarzschild-Lösung ist z.B. auch eine Vakuum-Lösung mit Lambda=0, aber nicht mit konstanter Krümmung).

Diese Raumzeiten kann man in verschiedener Weise in Raum und Zeit aufspalten (d.h. ein Koordinatensystem wählen), wobei der Raum mit der induzierten Metrik auch konstante Krümmung haben kann, z.B. die Minkowski-Metrik in einen Raum mit k=0 (euklidisch) oder mit k=-1 (hyperbolisch). Man bekommt dann die von dir erwähnte Blätterung (foliation) der Raumzeit.

Viele Grüße
Mark

Hallo Mark,

eine schöne Zusammenfassung der Vakuumlösungen. Die axialsymmetrischen Weyl-Lösungen gehören nicht dazu, oder?

Grüße
Günter

Hallo Günter,

danke für den Hinweis, die Weyl-Lösungen kannte ich nicht. Eine Online-Referenz, die ich gefunden habe, ist Abschnitt 6.1 in https://arxiv.org/abs/gr-qc/0004016 Die Weyl-Lösungen sind Vakuum-Lösungen (Ricci-Tensor = 0), aber haben konstante Krümmung (Riemann-Tensor = 0) nur in Spezialfällen.

Viele Grüße
Mark

Hallo Mark,

diese Lösungen sind m.E. nur von theoretischem Interesse, hier ein paar Bemerkung über die axialsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen von Weyl selbst. Wichtiger ist die Rolle der Weyl-Krümmung bei Abwesenheit von Ricci-Krümmung, etwa beim Durchgang einer Gravitationswelle oder beim freien Fall Richtung Massezentrum, wobei die Gezeitenkräfte den Raum unter Volumenerhalt verformen. Aber damit sind wir bei einem anderen Thema.