Halbjahreslängen Erde

Welche "Geschwindigkeit" soll denn bei Deinem Gedankenkonstrukt konstant sein? die Bahngeschindigkeit (die da tatsächlich zwischen 30,5 und 29,5 km/s schwankt) oder die Winkelgeschwindigkeit? Wenn die Winkelgeschwindigkeit konstant wäre, wären Sommer und Winterhalbjahr gleich lang.
Das 1. Keplersche Gesetz beschreibt eben die Form der Bahn und das Zweite die wechselnde Bahngeschwindigkeit. Was wäre wenn die Bahn eine Ellipse ist, aber die Bahngeschwindigkeit konstant wäre (was ja nicht wirklich geht) ist eine ganz theoretische Frage. Aber ausrechnen könnte man das schon. Google mal nach "Kepler-Gleichnung" und nimm Dein Excel zur Hand.
Clear Skies Dietrich

Hallo Schneepirat,

geht auch ohne Excel - die zusätzliche Strecke im Sommerhalbjahr ist in sehr guter Näherung 4 mal die Strecke zwischen Ellipsenmittelpunkt und Brennpunkt (d.h. die Exzentrizität). Einfach mal aufzeichnen. Mit der Annahme "konstante Bahngeschwindigkeit" wird der Unterschied zwischen Sommer- und Winterhalbjahr dann zwar unterschätzt, aber als erster Erklärungsansatz mit dem richtigen Vorzeichen mag es gut genug sein.

Lass uns dann das Ergebnis wissen

Viele Grüße, Holger

Hallo Schneepirat,
das 1. Keplergesetzt sagt nichts darüber aus, wie schnell ein Bahnabschnitt durchwandert wird. Also kann man damit alleine auch keine Aussage über die Dauer einer Jahreszeit ableiten. Wenn Du annimmst, dass die Bahn gleichmäßig schnell durchwandert würde, dann verlässt du schon das Wesen des 1. Keplergesetzes, das nur eine Aussage über die "Form" der Bahn macht: "Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen. In einem ihrer Brennpunkte steht die Sonne."

Ich würde mich darauf nicht einlassen, in das 1. Keplergesetz etwas hinein zu interpretieren, was nicht Bestandteil der Aussage ist.

Das Berechnen der Länge eines Ellipsenabschnitts dürfte das Unterstufen-Schulwissen sprengen. In erster Näherung täte ich eher auf Kreisumfang/Umfang eines Kreissektors zurück greifen und über die unterschiedliche Kreisradien (kleine Halbachse vs. große Halbachse) gehen. Das ist dann ein linearer Zusammenhang (Radius zu Umfang), so dass man da nicht mal viel rechnen muss.

Wenn man dann den Flächensatz des 2. Keplerschen Gesetzes hinzu nimmt, dann wird aus dieser Näherung ein quadratischer Zusammenhang.

Hallo Schneepirat,
ich sehe da noch einen Gedankenfehler. Sobald eine Planetenbahn von der idealen Kreisform abweicht, können wir die Geschwindigkeit des Planeten in der Bahn nicht entgegen des zweiten Keplerschen Gesetzes einfach als gleichförmig ansehen. Ich bin auch ein Freund von Vereinfachungen um physikalische Sachverhalte einfach zu erklären, nur würden wir in diesem Fall die Physik etwas auf den Kopf stellen.

Viele Grüße,
Andre

Hallo Andre,

ich kann mir das von der Argumentation her schon so vorstellen:

erstes Gesetz - Ellipse mit Sonne im Brennpunkt. Zurückgelegte Strecke im Winter ist kürzer.
zweites Gesetz - im Winter bewegt sich die Erde auch noch schneller, also wird es nochmal kürzer.
Vereinfachung: lass das zweite Gesetz außer acht, weil es die Dinge nur unnötig kompliziert macht

Ein Gedankenfehler liegt nur dann vor, wenn diese Vereinfachung unzulässig ist, weil der zweite Beitrag der dominierende ist. Man sollte also zumindest die Größe beider Effekte abschätzen.

Und jetzt die groben Abschätzungen dazu - ich versuch's mal, alles ohne Gewähr und rechnet gern mit...

Mit: a = große Halbachse
e = numerische Exzentrizität

Bahnlänge gesamt ist ungefähr 2 pi a
Bahnlänge Sommer ist ungefähr 4 e a länger (siehe oben)

-> Länge Sommerbahn: ~ (pi + 4 e) a
-> Länge Winterbahn: ~ pi a
-> Verhältnis Sommer zu Winter: 1 + 4 e / pi

Zu den Bahngeschwindigkeiten:

Verhältnis der Bahngeschwindigkeiten im Perihel / Aphel: (1+e) / (1-e) also ungefähr 1 + 2 e.
Für die Durchschnittsgeschwindigkeiten ist der Unterschied kleiner um einen Faktor ca. 2/pi (Mittelwert über einen halbe Sinusperiode).

-> Verhältnis der mittleren Bahngeschwindigkeiten also ungefähr 1 + 4 e / pi

Nach dieser Abschätzung sind die beiden Beiträge also gleich groß. Nett
Ob das jetzt eine zulässige Näherung ist, nur einen davon zu nehmen, lasse ich mal offen.

Viele Grüße

Holger

Nachtrag: nach dieser Abschätzung ist das Sommerhalbjahr um 8e / (2 pi) * 365.25 Tage länger, also rund 7.8 Tage. Passt!

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Andre</i>
<br />Ich bin auch ein Freund von Vereinfachungen um physikalische Sachverhalte einfach zu erklären, nur würden wir in diesem Fall die Physik etwas auf den Kopf stellen.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
Es geht nicht um Vereinfachungen oder (allzu stark) vereinfachte Erklärungen. Die Klasse hat zutreffend festgestellt, dass das Winterhalbjahr aus <i>zwei</i> Gründen kürzer ist als das Sommerhalbjahr: Die Erde muss nur eine kürzere Strecke zurücklegen, und sie tut das mit höherer mittlerer Geschwindigkeit. Und es stellt sich schlicht die legitime Frage: Welchen Anteil haben die beiden Teil-Effekte am Gesamteffekt?

Insbesondere ist die konkrete Frage hier: Um wieviel ist der perihelseitige Ellipsenbogen (gerechnet von der wahren Anomalie = Perihel - 90° bis Perihel + 90°) kürzer als der Restbogen?

Tschau,
Thomas

Thomas,
was du Teil-Effekte nennst, funktioniert nur, wenn man zuvor die Annahme einer gleichförmigen Bewegung annimmt. Und schon da fangen die Probleme an.
Nimm den einfachen Fall eines Ballwurfs (Wurfparabel) und die Momentangeschwindigkeit entlang der Wurflinie. Einfachster Fall: senkrecht nach oben, am Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit dann gleich null. Und die Wurfparabel ist noch einfach, da man das Gravitationspotential konstant setzt (g= 9,81 m/s²). Beim Fall der Erde um die Sonne muss man dagegen das Gravitationspotenzial der Sonne in Abhängigkeit zur Entfernung betrachten.
Das Zauberwort ist nämlich: freier Fall

Das wäre übrigens mein Vorschlag für eine Herangehensweise um Schülern einer Unterstufe das qualitativ zu erklären. Modellhaft mit einer Murmel in einer halbrunden Salatschüssel**. Quadratische Gleichungen oder das Gravitationsgesetz dürften kaum Bestandteil des Lehrstoffes einer Unterstufe sein.

Gruß

**ne ausgediente Sat-Parabolschüssel wäre noch besser, wenn vorhanden.

Zu berechnen sind die elliptische Bogenlänge und die Bahnfläche für das "Winterhalbjahr" elliptischer Umlaufbahnen mit verschiedenen
Exzentrizitäten.

Das "Winterhalbjahr" ist dabei der kleinere der beiden Teile, in die eine Ellipse geteilt wird, wenn ich in dem Brennpunkt, in dem die Sonne steht, eine Senkrechte auf der langen Achse der Ellipse errichte. Von der Sonne aus gesehen betragen die Winkel vom Perihel zu jedem der beiden Schnittpunkte der Senkrechten mit der Ellipsenbahn jeweils 90°.

Die große Halbachse der Bahn sei der Einfachheit halber auf 1 Astronomische Einheit (AE) gesetzt. Dann gelten die Ergebnisse auch gleich direkt für die Erdumlaufbahn.

(Dass das Perihel der Erdbahn ziemlich genau in der Mitte zwischen Herbstanfang und Frühlingsanfang liegt, ist Zufall. Meine Rechnung nimmt an, dass es <i>genau</i> in der Mitte liegt.)

Da ein Großteil der benötigten Ellipsenmathematik für die Unterstufe wohl etwas zu krass wäre, gebe ich zunächst einfach die berechneten Flächen und Bogenlängen an und werte sie betreffs der Fragestellung aus. Für die Interessenten folgt eine kurze Beschreibung der verwendeten Rechenmethoden am Ende.

A) Überstrichene Fläche

Gemäß dem Zweiten Keplerschen Gesetz überstreicht der vom Planeten zur Sonne gezogene "Fahrstrahl" in gleichen Zeiten gleich große Flächen. Die während des Winterhalbjahrs vom Fahrstrahl des Planeten überstrichene Fläche ist einfach die Fläche des durch die erwähnte Senkrechte abgeschnittenen Ellipsensegments.

Das Verhältnis der Fläche dieses Wintersegments zur Gesamtfläche der Ellipse ist also gleich dem Verhältnis der Aufenthaltsdauer des Planeten auf dem Winterbogen zur gesamten Umlaufdauer.

Die folgende Tabelle zeigt für einige Exzentrizitäten die Fläche des Wintersegments (in AE²), die Gesamtfläche der Ellipse (in AE²) und das Verhältnis der beiden. Exzentrizität = 0 entspricht einer Kreisbahn, Exzentrizität = 0.0167 entspricht der Erdbahn.

Exzentrizität     Fläche Wintersegment   Gesamtfläche   Verhältnis
                                                                      


  0                 1.57080                3.14159        0.50


  0.01              1.55072                3.14128        0.49366


  0.0167            1.53718                3.14072        0.48944


  0.05              1.46900                3.13374        0.46877


  0.1               1.36426                3.11018        0.43864


  0.2               1.14977                3.01593        0.38123


  0.5               0.53190                2.35619        0.22575

Die Gesamtfläche nimmt mit steigender Exzentrizität (bei festgehaltener großer Halbachse) ab, da die Ellipse immer schmaler wird. Die Fläche des Wintersegments nimmt noch rascher ab, weil sich die Ellipse zunehmend sozusagen "vom Perihel weg" und "in Richtung Aphel" verschiebt.

Wie man sieht und auch erwartet hat, hält sich im Falle einer Kreisbahn der Planet genau die Hälfte der Zeit im Winterhalbjahr auf.

Im Falle der Erde (Exzentrizität 0.0167) hält sich der Planet den Bruchteil 0.48944 einer Umlaufperiode, also eines Jahres, im Winterhalbjahr auf. Das können wir auch gleich mit realen Erdbahndaten vergleichen. Laut Wikipedia, Artikel "Jahreszeit", haben die Jahreszeiten jeweils eine Dauer von

Frühling: 92,76 Tagen
Sommer:   93,65
Herbst:   89,84 
Winter:   88,99

Auf die "Winterhälfte" der Bahn im eingangs erwähnten Sinne (zwischen Herbst-Tagundnachtgleiche und Frühlings-Tagundnachtgleiche) entfallen die Jahreszeiten Herbst und Winter. Der zeitliche Anteil, den die Erde dort verbringt, beträgt laut Tabelle (89.84+88.99)/(92,76+93,65+89,84+88,99) = 0.48962 Jahre, was schön mit unserer idealisierten Ellipsenrechnung übereinstimmt.

B) Bogenlänge

Die folgende Tabelle enthält die Länge des Ellipsenbogens, der auf das Winterhalbjahr entfällt (in Astronomischen Einheiten AE) und den Gesamtumfang. E ist ein zur Berechnung der Bogenlänge benötigter Hilfswinkel.

Exzentrizität  Umfang         E           Bogenlänge    mittlere Geschw.


  0              6.28319 AE    ±90°         3.14159 AE    6.28318 AE/Jahr


  0.01           6.28303       ±89.4270°    3.12151       6.32320


  0.0167         6.28275       ±89.0431°    3.10798       6.35007


  0.05           6.27926       ±87.1340°    3.03971       6.48444


  0.1            6.26745       ±84.2608°    2.93439       6.68975


  0.2            6.21987       ±78.4630°    2.71525       7.12234


  0.5            5.86985       ±60°         2.01511       8.92629

Wie man sieht und auch erwartet, wird die Bogenlänge des Winterhalbjahres mit zunehmender Exzentrizität kleiner.

Dividiert man die Bogenlänge (in AE) durch die Aufenthaltsdauer (in Jahren) aus der vorigen Tabelle, erhält man die ebenfalls in der Tabelle gezeigte mittlere Geschwindigkeit während des Winterhalbjahres.

C) Auswertung

Jetzt haben wir alles, was wir brauchen: Die jeweils während des Winterhalbjahres durchlaufene Bogenlänge, die mittlere Geschwindigkeit beim Durchlaufen dieses Bogens, und die zum Durchlaufen benötigte Zeitdauer. Wie aus der ersten Tabelle ersichtlich ist, nimmt die benötigte Zeitdauer ab (für die hier tabellierten Exzentrizitäten von 0.5 Jahren bis auf 0.22575 Jahre).

Da in die benötigte Zeitdauer sowohl die zu durchlaufende Bogenlänge als auch die mittlere Geschwindigkeit eingehen, stellt sich die Frage: Welchen Beitrag leisten - bei Veränderung der Exzentrizität - die Änderung der Bogenlänge und die Änderung der Geschwindigkeit zur Änderung der benötigten Zeit.

Der Zusammenhang zwischen Bogenlänge S, Geschwindigkeit V und Zeitdauer T ist

S / V = T

Ich betrachte nun die Bogenlänge und die Geschwindigkeit <i>bei der Kreisbahn</i> als Referenzwerte S0 bzw. V0 und drücke die Bogenlängen und Geschwindigkeiten bei den anderen Exzentrizitäten mit Bezug auf S0 und V0 aus. Die Bogenlänge 3.12151 AE bei der Exzentrizität 0.01 wird beispielsweise als 0.994*3.14159 also 0.994*S0 ausgedrückt. Auf diese Weise sieht man sofort, um wieviel sich Bogenlänge und Geschwindigkeit bei den verschiedenen Exzentrizitäten gegenüber der Kreisbahn geändert haben.

0     :   <font color="limegreen">3.14159</font id="limegreen"> / <font color="orange">6.28318</font id="orange"> = 1*S0      / 1*V0       = <font color="limegreen">1</font id="limegreen">    *<font color="orange">1</font id="orange">    *(S0/V0) = <font color="limegreen">1</font id="limegreen">    *<font color="orange">1</font id="orange">    *T0 


  0.01  :   <font color="limegreen">3.12151</font id="limegreen"> / <font color="orange">6.32320</font id="orange"> = (0.994*S0)/(1.0064*V0) = <font color="limegreen">0.994</font id="limegreen">*<font color="orange">0.994</font id="orange">*(S0/V0) = <font color="limegreen">0.994</font id="limegreen">*<font color="orange">0.994</font id="orange">*T0


  0.0167:   <font color="limegreen">3.10798</font id="limegreen"> / <font color="orange">6.35007</font id="orange"> = (0.989*S0)/(1.0106*V0) = <font color="limegreen">0.989</font id="limegreen">*<font color="orange">0.989</font id="orange">*(S0/V0) = <font color="limegreen">0.989</font id="limegreen">*<font color="orange">0.989</font id="orange">*T0


  0.05  :   <font color="limegreen">3.03971</font id="limegreen"> / <font color="orange">6.48444</font id="orange"> = (0.968*S0)/(1.0320*V0) = <font color="limegreen">0.968</font id="limegreen">*<font color="orange">0.969</font id="orange">*(S0/V0) = <font color="limegreen">0.968</font id="limegreen">*<font color="orange">0.969</font id="orange">*T0


  0.1   :   <font color="limegreen">2.93439</font id="limegreen"> / <font color="orange">6.68975</font id="orange"> = (0.934*S0)/(1.0647*V0) = <font color="limegreen">0.934</font id="limegreen">*<font color="orange">0.939</font id="orange">*(S0/V0) = <font color="limegreen">0.934</font id="limegreen">*<font color="orange">0.939</font id="orange">*T0


  0.2   :   <font color="limegreen">2.71525</font id="limegreen"> / <font color="orange">7.12234</font id="orange"> = (0.864*S0)/(1.1336*V0) = <font color="limegreen">0.864</font id="limegreen">*<font color="orange">0.882</font id="orange">*(S0/V0) = <font color="limegreen">0.864</font id="limegreen">*<font color="orange">0.882</font id="orange">*T0


  0.5   :   <font color="limegreen">2.01511</font id="limegreen"> / <font color="orange">8.92629</font id="orange"> = (0.641*S0)/(1.4207*V0) = <font color="limegreen">0.641</font id="limegreen">*<font color="orange">0.704</font id="orange">*(S0/V0) = <font color="limegreen">0.641</font id="limegreen">*<font color="orange">0.704</font id="orange">*T0

<b>Wie schon von Cleo vorweggenommen, sind die beiden Beiträge etwa gleich groß. Im Fall der Erdbahn ist die benötigte Zeitdauer (0.48944 Jahre) um den Faktor 0.979 kleiner als die Referenzdauer T0 bei der Kreisbahn (0.5 Jahre). Die Änderung der Bogenlänge trägt dazu einen Faktor <font color="limegreen">0.989</font id="limegreen"> bei, und die Änderung der mittleren Geschwindigkeit ebenfalls einen Faktor <font color="orange">0.989</font id="orange">.

Erst bei deutlich größeren Exzentrizitäten beginnt die Änderung der Bogenlänge einen etwas stärkeren Einfluss (stärkeren Abminderungsfaktor) zu haben als die Änderung der mittleren Geschwindigkeit.</b>

D) Hinweise zur Rechnung

Die Fläche des dem Winterhalbjahr entsprechenden Ellipsensegments lässt sich berechnen nach Gleichung (4.6) in O. Montenbruck, Th. Pfleger: Astronomie mit dem Personal Computer, 2. Auflage, Springer 1994. Ein zusätzlicher Faktor 2 ist nötig, weil die Formel nur das Segment vom Perihel bis zum Senkrechten-Schnittpunkt berechnet, während wir das Doppelte benötigen.

In diese Formel geht ein Winkel E ein, die exzentrische Anomalie, die oben als Hilfswinkel mit tabelliert ist. Sie berechnet sich aus der wahren Anomalie ny und der jeweiligen Exzentrizität e mit der Formel

cos E = (cos ny + e)/(1 + e cos ny) (Wikipedia),

was sich in unserem Fall wegen ny = ±90° vereinfacht zu

cos E = e

Alternativ kann die Formel

Segment = cd/4 * [ arccos(1-2h/c) - (1-2h/c) * #8730;(4h/c - 4h²/c²)]

mit c = 2*a und d = 2*b (Rechneronline) verwendet werden, wenn man als Segmenthöhe h die Entfernung vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt der Ellipse setzt: h = a (1 - e)

Es ergibt sich

Segment = a^2 sqrt(1 - e^2) [ arccos(e) - e * sqrt( 1 - e^2 )]

Taschenrechner auf Radian stellen.

Für die Bogenlänge gibt es keine geschlossene Formel. Betreffs geeigneter Formeln unter Verwendung von Reihenentwicklungen kann man sich bei Interesse in der Facharbeit von Ph. Düren informieren. Das Problem ist, dass das die Bogenlänge beschreibende Integral über

sqrt( 1 - e^2*sin(t)^2 )

(wobei der Parameterwinkel t vom Anfang bis zum Ende des Bogenstücks läuft, für den vollen Umfang von 0 bis 2 pi)

nicht elementar lösbar ist. Statt mich mit Reihenentwicklungen abzugeben, habe ich das Integral einfach numerisch gelöst. Das kann man mit einem geeigneten Taschenrechner machen, oder heutzutage von WolframAlpha erledigen lassen. Ein Aufruf des Online-Integrators mittels

integrate sqrt(1 - 0.0001*(sin(t))^2) from 0 to 2 pi

liefert beispielsweise den Umfang einer Ellipse mit der großen Halbachse 1 und der Exzentrizität 0.01 (also 6.28303). Bei der Integration über Teilbögen müssen wegen der Definition des Parameterwinkels t wieder die in der Tabelle angegebenen exzentrischen Anomalien verwendet (und in Radian umgerechnet) werden, z.B.

integrate 2*sqrt(1-0.0001*(sin(t))^2) from 0 to 89.4270*pi/180

um das Ergebnis 3.12151 zu erhalten.

Tschau,
Thomas

Hallo Thomas,

sehr schön, da kann man es jetzt für alle Zeiten nachschlagen!
Mit den von mir oben abgeleiteten Näherungen erhalte ich für den von Dir berechneten Faktor den Wert (1-2e/pi) = 0.98936. Umgekehrt müsste man mit einer Reihenentwicklung deiner Rechnungen auch diese Formel rausbekommen können...

Gruß, Holger