Winkelberechnung von Sterndreiecken aus Katalogen

Hallo Neubi,

ganz so einfach ist das nicht. Es ist zwar nicht ganz so schwer, die Winkel zu berechnen.

Aber beim Nachmessen auf dem Foto wirst Du ein besonderes Erlebnis haben: Es paßt nicht so recht. Wenn Du die Ursache suchst, wirst Du feststellen, daß in den Dreiecken, deren Winkel Du errechnet hast, die Winkelsumme größer als 180° ist. Die Abweichung ist um so größer, je größer das jeweilige Dreieck ist.

Die Ursache liegt darin, daß Dreiecke auf einer Kugel nun einmal eine größere Winkelsumme als 180° haben! Deine Mintron projiziert so ein Kugeldreieck aber auf den ebenen Chip, und dort ist die Winkelsumme dann 180°. Mit anderen Worten: Die Winkel auf dem Bild sind anders als die am Himmel!

So, wenn Du jetzt trotzden weitermachen willst, dann kann ich auch noch schildern, wie man das mathematisch handhaben kann.

Gruß, mike

Hallo Neubi,

o.k, hier sind sie:

Du mußt mathematisch die Kugelpunkte auf eine Ebene projizieren. Diese Ebene muß senkrecht auf Deiner Beobachtungsrichtung stehen. Die Beobachtungsrichtung ist durch die Mitte Deines Bildfeldes festgelegt.

Der Rest ist Vektorrechnung.

1. Lege eine Tangentialebene an den Kugelpunkt, der in der Mitte Deines Bildfeldes liegt.
Dieses Projektionszentrum habe die Kugelkoordinaten Rz,Dz; vektoriell mit dem Kugelradius 1: Vektor_Z=(cos(DZ)*cos(RZ),cos(DZ)*sin(RZ),sin(DZ)). Dabei liegt der Frühlingspunkt in (1,0,0). Die Tangentialebene hat die Gleichung Vektor_r=Vektor_Z+kappa*Vektor_u+lambda*Vektor_v.
Dabei sind Vektor_u und Vektor_v zwei linear unabhängige Richtungsvektoren auf der Tangentialebene. Zweckmäßigerweise wählst Du sie so, daß dort einer nach Norden zeigt und der andere nach Westen (Achtung: Am Himmel ist Westen rechts!). Dann sind kappa und lambda nachher gleich kartesische Koordinaten auf der Ebene.
Einen auf der Ebene nach Norden zeigenden Vektor bekommst Du, mit Hilfe des Schnittpunkts der Ebene mit der z-Achse. Ursprung, Berührpunkt und Schnittpunkt mit der z-Achse bilden ein rechtwinkliges Dreieck; die Hypotenuse (auf der z-Achse) hat die Länge 1/sin(DZ). Damit bekommst Du einen Vektor, der auf der Tangentialebene nach Norden zeigt, als Differenz von (0,0,1/sin(DZ)) und Vektor_Z. Diesen Vektor mußt Du noch auf die Länge 1 normieren.
Jetzt brauchst Du noch einen Vektor, der nach Westen zeigt. Der ergibt sich ganz zwanglos als Kreuzprodukt aus dem eben errechneten Vektor und dem Blickrichtungsvektor Vektor_Z (und muß natürlich auch wieder normiter werden.
Damit hast Du die beiden Vektoren für die Parameterdarstellung der Tangentialebene.

2. Nimm jetzt einen Stern mit den Kugelkoordinaten RS,DS. Rechne seinen Ort an der Himmelskugel genauso in kartesische Koordinaten um wie oben für den Berührpunkt. Stelle die vektorielle Geradengleichung auf für die Gerade durch den Ursprung und den Stern. Bestimme den Schnittpunkt dieser Geraden mit der bei 1 ermittelten Ebene. Schon weißt Du, wohin der Stern auf der Ebene projiziert wird. Und mit kappa und lambda hast Du gleich brauchbare kartesische Koordinaten auf der Ebene.

Gruß, mike

Hallo neubi,

bevor Du anfängst kompliziert zu rechnen, musst Du sicherstellen, dass Deine Sternkarten auch winkeltreu projeziert sind (also wie Seefahrerkarten). Es gibt nämlich auch noch andere Projektionstechniken (z.B. Flächentreu). Die größten Unterschiede ergeben sich in den Polarregionen.

Wenn Du anhand der Koordinatenangebn ein CCD-Image überprüfen möchtest, gilt die Problematik natürlich für das CCD-Bild. Visuell und in Okularprojektion bräuchte man hierfür sog. orthoskopische Okulare (darunter fallen auch Plössl - siehe Astro-Lexikon).

Um sich das Ganze bildhaft vorzustellen: Nimm das Gitterwerk einer Weltkugel und stelle Dir eine Lampe vor (z.B. im Kugelmittelpunkt). Dann wirft das Gitter auf ein Papierblatt flach an die Kugel gehalten einen Koordinatenschatten. Alternativ rolle das Blatt zu einem Zylinder um die Kugel oder verändere den Standpunkt der Lampe z.B. ins Unendliche am Südpol. Auf dieser Grundlage kann man auch die Geometrie leichter begreifen. -> Schnittlinien bilden nur noch Kreise und Dreiecke, davon aber eine Menge.
Hintergrundwissen ergoogelt man sich unter Kartografischer Projektion etc.

Gruß
Kalle

Hallo Neubi,
ich weiß, man sollte sowas nicht tun, selber draufkommen ist besser (und Mike hat es ja schön erklärt)
aber falls du trotzdem Probleme haben solltest ist hier mal alles in Kürze

ra0, dec0 = sphärische Koordinaten des Bildmittelpunktes
ra, dec = sphärische Koordinaten eines Sterns
x,y = kartesische Koordinaten des Sterns (zentral (auch gnomisch gennannt) projeziert)

x:=((cos(dec)*sin(ra-ra0))/(cos(dec0)*cos(dec)*cos(ra-ra0)+sin(dec)*sin(dec0)));
y:=((sin(dec0)*cos(dec)*cos(ra-ra0)-cos(dec0)*sin(dec))/(cos(dec0)*cos(dec)*cos(ra-ra0)+sin(dec0)*sin(dec)));

hab das mal für ein Programm gebraucht, und da dieses funktioniert hat, müsste es alles so stimmen ;-))
MfG
Julian