Erdbeschleunigung

Hallo Matthias,
die Schwingungsgleichung für Pendel in der von Dir dargestellten Form gilt ja nur für kleine Ausschläge. Die Luftreibung bewirkt so vereinfacht nur eine Dämpfung der Pendelschwingung, aber keine Änderung der Schwingungsdauer.

Über die Energieerhaltung kann man dennoch die Geschwindigkeit des Pendels beim Nulldurchgang ermitteln und darauf aufbauend die Reibungskraft abschätzen. E(kin) = E(pot) => 0,5mvv = mhg

Experimentell lässt sich die Reibungskraft über die Dämpfung ermitteln, in dem man den Verlust an Ausschlag nach z.B. x Schwingungen ermittelt. Ebenso lässt sich die Konstanz der Schwingungsdauer bei verschieden starken Ausschlägen ermitteln. Beides verhält sich aber nicht linear. Ob eine lineare Interpolation das Messergebnis verbessert, kann ich nicht sagen.

Interessant wäre auch der Aspekt, dass man unterschiedliche g-Werte über verschieden starke Ausschläge ermittelt und damit ein Ergebnis-Intervall aufstellt.

Meines Wissens hat die Verminderung der gemessenen Erdbeschleunigung durch die Richtung Äquator zunehmende Fliehkraft der Erdrotation und der Entfernung zum Erdmittelpunkt (Erde als Rotationselipsoid und Höhe über NN) deutlich größere Einflüsse. g schwankt so zwischen 9,77 (Äquator und 9,87 m/ss (Pol).

Gruß

PS: Wie ermittelt ihr experimentell die Schwingungsdauer? Ich tät' ja die Stoppuhr beim Nulldurchgang auslösen, wenn das Pendel am schnellsten ist.

Hallo Matthias,

aus eigener leidvoller Erfahrung (Anfänger-Praktikum II an der Uni...) kann ich dir sagen, daß die Bestimmung von g aus Pendelversuchen eine extrem fehleranfällige Angelegenheit ist. Mit einem einfachen Pendel mußt du extrem viele Schwingsungsperioden abwarten, um eine hinreichende Genauigkeit zu bekommen. Und da wird es dann bei dir auch schon schwierig, wenn du nicht nur den durch die Reibung immer kleiner werdenden Ausschlag sondern auch noch das Problem mit der Elliptizität hast.

Ich würde zuerst versuchen, die elliptische Abweichung zu beseitigen. Das müßte eigentlich an der Pendelaufhängung liegen, wie ist die gelagert? Sie sollte nicht nur frei drehbar sondern auch möglichst reibungsfrei sein, damit man die Dämpfung kleinhält.

Für eine höhere Genauigkeit empfehlen sich Versuche mit Referenzpendel und Koinzidenz/Antikoinzidenzschwinungen.

Viele Grüße,
Caro

Hallo Mathias,

Als Uhrmacher kann ich Caro bestätigen: die Pendelaufhängung ist sehr wichtig und kann die Ursache für einige Fehler sein.
In Präzisionspendeluhren werden werden in der Regel Messerschneiden auf Rubin- oder Achatlagern verwendet um das Drehen des Pendels zu verhindern. Beim Foucaultschen Pendel kommt eigentlich nur ein Nadellager in Frage.
Wie habt Ihr das Pendel denn aufgehängt?

Marcus

Hallo Matthias,

9,79 klingt für mich schon recht wenig. Es gibt aber auch innerhalb Deutschlands durchaus Abweichungen, so daß da auch durchaus mal 9,80irgendwas stehen kann. Die Nachkommastellen und damit die Genauigkeit sind es dann eben doch, die zählen. Die Fehlerabschätzung hat in diesem Fall wirklich ihre Tücken, aber grundsätzlich würde ich sagen, daß ein Meßwert von 9,79 für den Versuchsaufbau als solches ziemlich gut ist.

Wo man jetzt auf die Schnelle einen zuverlässigen lokalen Meßwert mit kleinem Fehler herbekommt, kann ich leider auch nicht sagen. Auf den ESA-Seiten kann man zwar nach Registrierung in den Daten des GOCE-Satelliten wühlen, der das Erdschwerefeld global vermessen hat, aber das gesamte Interface ist eher auf Wissenschaftler ausgerichtet und dementsprechend kompliziert - ich bin da nicht fündig geworden.

Viele Grüße,
Caro

Matthias,
mach doch eine Fehlerabschätzung. Wieviel ändert sich der g-Wert, wenn die Fadenlänge 5mm länger/kürzer ist oder die Schwingungsdauer +/- 1/100s anders gemessen wird.

Außerdem ... Wie stark dehnt sich das Seil unter der Schwingungsbelastung? ->Federkonstante

Hinsichtlich der Gravitationsangabge für Crailsheim verweise ich auf die Physikalisch-Technische-Bundesanstalt PTB und ihr Projekt "Schwereinformationssystem". http://www.ptb.de/de/aktuelles…ten/2007/_sis-direkt.html

Mit T= 2*pi *sqrt(l/g) komme ich auf
g= 4pi²*l/T²

dann ist der größte Fehler
delta g =4pi²*(delta l /T² +2l *delta T /T³)

delta l = 0,01m
l= 6,63m
T=5,169s
delta T =0,001s

also ist

delta g=0,02m/s² (aufgerundet)

und euer Messwert g=9,79 +- 0,02 m/s²

wenn ich mich nicht irre?

Hallo Kalle,

auf den Link hab ich mir gleich mal einen Bookmark gesetzt, das Applet ist ja richtig klasse. Es spuckt mir für Crailsheim übrigens 9.808838 +/- 0.000041 aus

Viele Grüße,
Caro

Moin,
im letzten Semester durfte ich auch die Oberflächenbeschleunigugn bestimmen, was eine ziemlich grausame, allerdings für den Aufbau erstaunlich genaue (max 10^-3 eher 10^-4 relativer Fehler) Angelegenheit war. Benutzt wurde die Methode des Reversionspendels und eine Zählelektronik (Lichtschranke und das urigste Stück Displaytechnologie, was ich je gesehen habe) Wenn Interesse an einem Nachversuch besteht, wäre das ein guter Ansatz, da bei dieser Art der Messung die Fehler recht gut abschätz- und korriegierbar sind. Was wir auch tun mussten, Fehlerrechnung ist eine sehr nervige Angelegenheit.
Fazit: Die Reibung machte bei diesem Aufbau (physikalisches Pendel, ordentlich Schwer, reichlich 1,5m lang, Lagerung auf scharfer Schneide) kaum etwas aus, der Korrekturterm aufgrund der Erddrehung war um die 10 mal größer als die Summer der anderen Einflüsse. Den größten einfluss macht dabei meist die Messung mit der Stoppuhr. Ich hatte für einen anderen Versuch (wie ich die Mechnanik hasse ^^) meine Reaktionszeit bestimmt und die lag bei etwa 0,3s das ist etwas überdurschnittlich viel, aber 0,2s halte ich für die untere Grenze, mit Training ist vllt. weniger möglich.

Für Jena ergab sich dabei (mit allen Korrekturen): g=(9,8076+-0,0072m/s²)

häufiger Fehler ist, dass dieser ganze schöne Formalismus nur funktioniert, wenn man den sinus in der Bewegungsgleichung durh sein Argument nähern darf. Das geht nur bei kleinen Auslenkungen. Darauf muss man bei der Messung achten und einen Kompromiss finden zwischen Genauigkeit der Näherung und guter Messbarkeit. Faustregel: bis 5° ist das machbar. Daraus folgt: Das pendel sollte möglichst lang sein, was wiederum auch den relativen Fehler der Längenmessung verkleinert.

Hi,
da fällt mir noch ein. Wie groß ist der Fehler durch die "Auftriebskraft" des Pendels in Luft? Die wirkt doch der Gravitation entgegen.

Gruß

Hallo Mathias,

Die Aufhängung scheint schon recht gut zu sein. Wenn die Spitze der Nadel und der korrespondierende Auflagepunkt makellos sind, kann man da eigentlich kaum etwas verbessern.

Der Pendeldraht muss so stabil sein, dass eine feste Verbindung Pendelkörper-Draht-Aufhängung gewährleistet ist. Wir hatten damals im Physikkurs Pianodraht aus dem Musikhandel genommen. Der ist hart, dehnt sich kaum und lässt sich gut klemmen. Wie Du schon erkannt hast, die Befestigung des Drahtes an Aufhängung und Gewicht wichtig.
Wenn das Pendel in sich verwindungssteif genug ist, hast Du auch kein Problem mehr mit der Drehung der Aufhängung um ihr Lager, solange der Pendelkörper nicht in Drehung gerät.
Eventuell muss der Draht ein paar (!) Tage aushängen um seine endgültige Ausrichtung zu finden.

Ach ja, Ihr müsst natürlich auch Zugluft vermeiden, wenn die Schwingungen nicht elliptisch werden sollen. [;)]

Viel Erfolg:
Marcus

moin,
(==>)Kalle: Also des wirklich recht klein, je massiver das Pendel ist. Der ganze Korrekturfaktor, mit Korrektur für die lineare Schwingung lautete f_korr=(1+1/8 phi_0²+rho_L/rho) mit phi_0 als Auslenkwinkel, rho_l als Dichte der Luft und rho als Dichte des Pendel(körpers).

Hallo,

ich bin einer der Schüler die "pense" (übrigens toller Name) hier aufgeführt hat.

Da hier einmal über die Schwingungsgleichung geredet wurde die nur für Auslenkungen kleiner 5° gelten, möchte ich hinzufügen, dass wir das natürlich bedacht haben und die Auslenkung auf 4,3° berechnet haben.
Die einfache Gleichung dürfte also verwendet werden...

Ich habe noch eine praktische Frage: wie kann man denn ein 5kg schweres Pendel richtig an einem "Faden" (wir haben dicken Kupferdraht verwendet) befestigen? Im Moment ist es so gelöst, dass wir am Drahtende eine Schlaufe gedreht haben, wie man eben Draht verdeht (...), und dann das Gewicht dort eingehängt haben. Das ist sicher nicht optimal, aber 5kg müssen ja gehalten werden und dürfen unter keinen Umständen aus dem Fenster fliegen [:)]

Grüße Florian

PS: Die Sonne hat gerade sehr schöne Felcken, genauergenommen drei, dich ich heute amateuhaft mit dem Handy fotographirt habe und morgen aber mit der Canon 1000D einfangen werde. Link zu SOHO: http://sohodata.nascom.nasa.gov/cgi-bin/data_query
Ach ja: um das PS nochmal ein bischen zu verlängern hier noch unsere(!) Astroseite: http://julian-goeltz.de/start.php wir freuen uns über nette Kommentare!

Hallo Florian,

Tja, die Befestigung des Drahtes ist natürlich ein echter Knackpunkt. Verdrillen geht zwar, fügt aber radiale Unsicherheiten zu dem System hinzu. Kupfer ist recht weich und hat obendrein einen hohen thermischen Ausdehnungskoeffizienten. Ei hochwertiger Stahldraht ist eindeutig vorzuziehen.
Ich kenne nun nicht die Details der Aufhängung und des Pendelgewichtes. Perfekt wäre es, wenn man den Draht gerade und verdrehsicher zwischen zwei stabile Bleche klemmen und diese Bleche dann ebenfalls verdrehsicher befestigen könnte. Wenn der Draht gerade geführt wird und nicht verdrillt ist, habt ihr weniger Probleme mit den Drehungen der Aufhängung und eventuellen Längenänderungen des Pendels.

Vielleicht kannst Du ja Bilder von Pendelmasse und Aufhängung posten. Ich bin ab Mittwoch aber für eine Woche unterwegs.

Marcus

Moin,
wenn es euch nur um die möglichst genaue Messeung der Oberflächenbeschleunigung geht, dann könntet ihr statt eines als masselos angesehenen Fadens massenbehaftete Stange nehmen. Dann ergibt sich die Periode T=2*pi*sqrt(I/m *d *g) mit den Variablen: I:=Trägheitsmoment um den Aufhängepunkt; m:=Masse; d:=Abstand Drehpunkt-Schwerpunkt.
Nimmt man einen quaderförmigen Stab, so sind die nötigen Größen nicht schwer zu berechnen und die Messgrößen werden Längenmessungen und Zeitmessungen, wie im Fall des Fadens auch. Auch Temperaturkorrekturen sind einfach machbar und mit einigem, aber machbaren Aufwand könnte man die Luftreibung korrigieren.

Hallo,

hier die Fotos der Aufhängung und des Gewichts:

Gruß
Floh

Hallo Floh,

Wenn ich mir die Pendelmasse so anschaue, ist glaube ich klar woher Euer Messfehler kommt. Bei einer derart komplexen Form wird Euch eine Abschätzung der Höhe des Massenschwerpunktes nicht viel bringen. Wenn Ihr sie nicht aus einer angenäherten Form aus drei Kegelstümpfen herleiten könnt, solltet Ihr Euch erst mal auf die Suche nach einer anderen Masse machen.
Vielleicht einfach eine angebohrte Boule-Kugel?

Die Aufhängung könnte man einfach gegenüber der Nadel klein (ca 1mm) durchbohren, den Draht durchfädeln und auf der Innenseite des Ringes fixieren (Knoten). Dann habt Ihr das Problem schon mal erschlagen. Die Boulekugel anbohren und Gewinde reinschneiden. M4 klingt gut. Eine passende M4-Schraube kürzen, zentrisch durchbohren (wieder 1mm), Draht durchfädeln und verknoten und die Schraube dann in die Kugel reindrehen. Dabei natürlich darauf achten, dass die Schraube möglichst wenig übersteht und Ihr kein allzutiefes Sackloch in der Kugel habt. Gegebenenfalls das Loch vor dem reindrehen der Schraube mit etwas Blei ausgiessen. Die Kugel samt Aufhängung muss möglichst kugelförmig bleiben und die Massenverteilung möglichst homogen.

Das fällt mir so auf die Schnelle ein. Vielleicht hat jemand anderes ja noch eine bessere Idee.
Marcus

Hallo Marcus,

wir haben da ein Loch gegenüber der Nadel. Der FAden ist auch da durch gebracht worden, doch einen schönen knoten mit so einem dicken Kupferdraht zu erstellen war uns nict gelungen, bzw. hatten wir die befürchtung, dass der bei 5kg leicht nachgibt... bei leichteren Pendelmassen und daher auch besserem Draht haben wir das so gemacht, wie du beschireben hast...
Danke für deine Idee mit der Bouleing Kugel... mal schauen was "pense" (ich sag das einfach so gerne) dazu meint...
Vielleicht kommen ja auch noch andere interessanete Ideen!

Gruß Floh

Hallo miteinander,

zur Vermeidung elliptischer Schwingungen des Pendels empfiehlt sich die "bifilare Aufhängung". Mögliche Fehlerquellen aus meiner Sicht:
-Dämpfung: Eine gedämpfte Schwingung hat eine kleinere Frequenz, als die äquivalente ungedämpfte Schwingung (Stichwort: logarithmisches Dekrement).
-Für das Trägheitsmoment zählt nicht nur die Bewegung des Schwerpunkts des Pendelkörpers um den Aufhängepunkt, sondern ebenso die Drehung des Pendelkörpers um seinen Schwerpunkt (Stichwort: Steinerscher Satz).
-Die Masse des Aufhängedrahtes muß berücksichtgt werden (wurde weiter vorne schon angesprochen).
-Bei einer Schwingungsamplitude von 5 Grad verlangsamt sich die Schwingung um 0,48 Promille gegenüber der Formel für vernachlässigbare Amplitude.
-In Folge der Viskosität der Luft führt der Pendelkörper bei der Schwingung eine gewisse Luftmasse mit sich. Auch das kann rechnerisch berücksichtigt werden, ich weiß momentan nur nicht, wie.

Es gibt sicher noch mehr Einflußfaktoren.

Grüße Kurt

Moin:
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"> -Für das Trägheitsmoment zählt nicht nur die Bewegung des Schwerpunkts des Pendelkörpers um den Aufhängepunkt, sondern ebenso die Drehung des Pendelkörpers um seinen Schwerpunkt (Stichwort: Steinerscher Satz). <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
Was meinst du mit "Drehung des Pendelkörpers um seinen Schwerpunkt"? Das Trägheitsmoment sollte schon dasjenige bezüglich der Drehachse durch den Aufhängepunkt sein. Oder meinst du, dass sich jenes Moment aus dem Trägheitsmoment bezüglich einer der Drehachse parallelen, durch den Schwerpunkt verlaufenden Achse mit eben dem Steinerschen Satz berechnen lässt?