Gravitationswellen vs. Gezeiteneffekt

  • Hallo allerseits,


    Gravitationswellen sind nicht ganz so einfach zu verstehen, wenn man ins Detail geht. Da ist von Schwingungen/Kräuselung der Raumzeit, periodischer Krümmung, Verzerrung der Metrik und von Gezeitenkräften die Rede.


    Beim Gezeiteneffekt ist üblicherweise die Deformation eines Körpers gemeint, der sich im Gravitationsfeld einer Masse im freien Fall befindet.


    Zur Veranschaulichung der Wirkung von Gravitationswellen und vom Gezeiteneffekt plaziert man zunächst kreisförmig angeordnete Testmassen in der flachen Raumzeit:


    <b>Eine Gravitationswelle läuft ein:</b> die Testmassen nehmen periodisch die Form einer Ellipse an, wie hier S.3 http://web.physik.rwth-aachen.…lectures/sem02/touni2.pdf gezeigt.


    <b>Gezeiteneffekt:</b> Die ohne Raumkrümmung kreisförmige Anordnung nimmt im inhomogenen Gravitationsfeld in radialer Richtung ebenfalls eine elliptische Form an, also Dehnung longitudinal, Stauchung transversal.


    Soweit ist alles bekannt und überall nachzulesen, aber leider wenig darüber hinaus. Folgende Fragen stellen sich mir:


    Macht man eine Momentaufnahme, hat man in beiden Fällen (GW, GE) eine elliptische Verzerrung der Metrik. Gibt es eine Grenze der physikalischen Äquivalenz? Wenn nicht, sollte es möglich sein, sich diese momentane GW-Verzerrung als durch eine Masse in Richtung der Ellipsenachse verursacht vorzustellen. Richtig?


    Massen krümmen die Raumzeit positiv. Aber wie ist das bei einer Gravitationswelle? Erfolgt die Krümmung zwischen 0 und x, oder -x und +x?


    Zu den Halbachsen der Ellipse bei Gravitationswelle und Gezeiteneffekt. Welcher Achse ist welche Krümmung zuzuordnen?


    Hoffentlich habe ich meine Punkte einigermaßen verständlich gemacht. Im weiteren Verlauf würde ich gerne auf mögliche Kritiken in Zusammenhang mit der interferometrischen Messung von Gravitationswellen eingehen.


    Besten Gruß, Günter

  • Hi Günter,


    ganz grundlegend würde ich Folgendes sagen: Der Gezeiteneffekt wirkt in "longitudinaler Richtung", d.h. genau wie Du oben schreibst wird beim Gezeiteneffekt die Anordnung von Testmassen in radialer Richtung gestaucht. Ein im inhomogenen Gravitationsfeld frei fallender Beobachter (-&gt; der berühmte Astronaut der auf ein kleines Schwarzes Loch stürzt) würde entlang der Fallrichtung gestreckt. Gravitationswellen dagegen sind Transversalwellen, d.h. die Stauchung/Streckung würde im Fall der Gravitationswellen dann "quer" zur Ausbreitungsrichtung der Welle erfolgen. Diese Ausbreitungsrichtung könnte man mittels der klassischen Interferometerexperimente prinzipiell rekonstruieren.


    Die Schwierigkeit dieses Unterfangens ist aber absolut nicht zu unterschätzen, da hast Du völlig Recht!


    Viele Grüsse,
    DK

  • Ja, man findet sehr viel zur Thematik der Ausbreitung von Gravitationswellen, danke Heinz. Dies http://www.einstein-online.inf…GW_Wellen?set_language=de ist besonders informativ, weil beide transversalen Freiheitsgrade animiert sind.


    Ich würde gerne nochmal auf die Raumkrümmung zurückkommen. Wie man der ersten Animation des obigen Links entnehmen kann, durchläuft die Raumverzerrung die Phasen kreisförmig - elliptisch horizontal - kreisförmig - elliptisch vertikal usw. Mit wenig Phantasie läßt sich sagen, daß Kreis wohl flach bedeutet. Aber die Ellipsen, haben wir da je nach Orientierung abwechselnd positive und negative Krümmung? In all den vielen Artikeln finde ich darüber nichts. Vermutlich bräuchte man einschlägige Fachliteratur.


    Zum Gezeiteneffekt: Er ist für die schon angesprochene elliptische Raumverzerrung im Gravitationsfeld einer Masse verantwortlich. Im Gegensatz zur Gravitationswelle ändert sich die Orientierung nicht. Gehe ich recht, daß hier die Raumkrümmung positiv ist. Dann sollte salopp gesagt die Gezeiteneffekt-Ellipse zu einer der beiden Orientierungen der GW-Ellips physikalisch äquivalent sein, oder?


    Aber zu welcher? Die Lichtlaufzeit ist außerordentlich kurz im Vergleich zur Periodendauer einer Gravitationswelle. Über die Schenkellängen sollte man demnach mit einem Laserinterferometer beide Orientierungen separat ausmessen können. Ich vermute aber, daß man nur den Betrag der Krümmung herausbekommt, denn es wird weder die Winkelsumme noch der Kreisumfang gemessen.


    Ich bemühe mich schon seit einiger Zeit erfolglos etwas Licht in diese Zusammenhänge zu bekommen und würde mich freuen, wenn Du mir ein bißchen auf die Sprünge helfen könntest, Dominik. Insbesondere auch mit Kritik, wo nötig.


    Besten Gruß, Günter

  • Hi Günter,


    ich will gern versuchen zu helfen. Ich muss aber vorwegschicken dass es bei den Gravitationswellen ein gewaltiges Problem gibt: Anders als bei z.B. elektromagnetischen Wellen kann man keine exakte Wellengleichung analytisch herleiten! Daher hakt es dann irgendwann immer mit dem was wir so intuitiv als "Welle" empfinden.


    Deine Ausführungen zu der Animation im Link sind soweit denke ich richtig. Es gibt aber noch einen Unterschied zum inhomogenen Gravitationsfeld: die transversale Gravitationswelle hat nur Effekte (z.B. Stauchung/Dehnung) in einer zweidimensionalen Ebene, auf der die Ausbreitungsrichtung der Welle senkrecht steht. Das inhomogene Gravitationsfeld dagegen ist in allen drei Raumrichtungen vorhanden, denn die anziehende Masse ist ja nie unendlich ausgedehnt. Daher kann man Äquivalenzen so direkt nicht identifizieren.


    Die Interferometer zur Detektion von Gravitationswellen messen ja eigentlich auch nur immer die Stauchung/Dehung eines Armes _im Verhältnis zum anderen_ (ein "Absolutnormal" hat man ja nämlich nicht). Folglich ist das Signal (neben dem angesprochenen "Problem" mit der Wellengleichung) immer auch noch mit allen Winkeln im System gefaltet. Aus einer solchen interferometrischen Detektion Aussagen über Richtung/Amplitude/Frequenz der einfallenden Welle bestmöglich zu rekonstruieren ist absolut non-trivial, genau in solche Studien werden z.B. für LISA beträchtliche Mittel und Arbeitsstunden investiert...


    Hoffe das hilft schonmal ein bisschen, aber frag gerne weiter!


    Dominik

  • Hi Dominik,


    Deine Antworten sind auf jeden Fall hilfreich, vielen Dank. Noch offene Fragen betreffen die Krümmung.


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: DK279</i>
    <br /> Ich muss aber vorwegschicken dass es bei den Gravitationswellen ein gewaltiges Problem gibt: Anders als bei z.B. elektromagnetischen Wellen kann man keine exakte Wellengleichung analytisch herleiten! Daher hakt es dann irgendwann immer mit dem was wir so intuitiv als "Welle" empfinden.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Könnte es sein, daß meine Fragen deshalb nicht beantwortbar sind?


    Zum Thema Krümmung. Die Geometrie der Raumzeit kann sphärisch, euklidisch oder hyperbolisch sein. Hierzu gibt es Vorhersagen der ART, die man durch Ausmessen von Dreiecken im Prinzip prüfen kann. Bekanntes Beispiel hierzu ist die Messung der Winkelsumme des durch die Basis der CMB-Schallwelle gegebenen kosmologischen Dreiecks. Seither spricht alles für eine euklidische Geometrie des Universums. In diesem Fall ist man ohne die genaue Kenntnis der Energiedichte des Universums auf so eine Messung unbedingt angewiesen.
    Aber bei lokalen gravitativen Effekten sollte die ART eindeutige Aussagen zur Kümmung machen. Jedenfalls war ich bisher dieser Meinung und damit bin ich wieder bei meinen Fragen:


    <b>Inhomogenes Gravitationsfeld einer kugelförmigen Masse</b>
    Die Raumzeit ist sphärisch gekrümmt. Das sollte bedeuten, daß die Winkelsumme unabhängig von der Orientierung immer &gt; 180° ist, richtig? Aber wie ändert sich die Krümmung, wenn ich ein transversales (vielleicht besser tangentiales?) Dreieck um 90° kippe, sodaß es parallel zu den benachbarten Feldlinien liegt?


    <b>Gravitationswelle</b>
    Es ist hier sicher illusorisch von der Ausmessung von Dreiecken zu sprechen, jedoch was sagt die Theorie? Den bereits angesprochenen Phasen der Raumverzerrung während einer Periode müßte im selben Takt eine Krümmung der Raumzeit und damit auch eine theoretisch zu erwartende oszillierende Winkelsumme im transversalen Dreieck entsprechen. Wenn ja, wie sähe das aus? Oder liege ich falsch?
    Zu den Gravitationsfeldlinien: Verlaufen sie transversal, verschwinden sie zum Zeitpunkt "Kreis" und tauchen in umgekehrter Richtung(Ellipse ist jetzt um 90° gedreht) wieder auf? Verlaufen sie inhomogen (aufgefächert)? Alles geraten.


    Zur Gravitation gehört eben nun mal die Krümmung. Das ließe sich wohl auch darstellen. Eigentlich sollte Markus Pössel mal über ergänzende Animationen nachdenken.


    Vielleicht sind das aber Fragen für Experten, die auf diesem Gebiet arbeiten. Möglicherweise steht im MTW etwas darüber drin. Du hast den sicherlich. Ich habe mir das Werk nicht zugelegt, weil mich der Schwierigkeitsgrad sicherlich weit überfordert. Aber es würde mich interessieren, ob es zwischendurdch auch für einen "interessierten Laien" verdauliches Prosa gibt.


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: DK279</i>
    Es gibt aber noch einen Unterschied zum inhomogenen Gravitationsfeld: die transversale Gravitationswelle hat nur Effekte (z.B. Stauchung/Dehnung) in einer zweidimensionalen Ebene, auf der die Ausbreitungsrichtung der Welle senkrecht steht.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Könnte es sein, daß deshalb meine obigen Fragen zur Krümmung bei GW obsolet sind? Aber ... gravitativer Effekt ohne Krümmung, hmm? Dieses Verständnis wäre mir besonders wichtig.


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: DK279</i>
    Das inhomogene Gravitationsfeld dagegen ist in allen drei Raumrichtungen vorhanden, denn die anziehende Masse ist ja nie unendlich ausgedehnt. Daher kann man Äquivalenzen so direkt nicht identifizieren. <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Ja, das ist klar, ein entscheidender Unterschied. Wahrscheinlich beschränkt sich die Äquivalenz auf die lokale Deformation der Raumzeit (die Ellipsen) in der betrachteten Ebene, also in 2 Raumrichtungen.


    Vielen Dank für Deine Mühe,


    Grüße, Günter

  • Hi Günter,


    sorry dass ich nun etwas länger brauchte um zu antworten.


    Was Du zur Winkelsumme in Dreiecken schreibst stimmt grundsätzlich natürlich. Ich denke aber immernoch (wobei das jetzt auch erstmal nur eine Vermutung ist), dass des Rätsels Lösung in der Dreidimensionalität des Raumes steckt, im Unterschied zu den Denkmodellen "2D + in einer dritten Dimension gekrümmt":


    Das von Dir angesprochene zweidimensionale Dreieck das parallel zu den Feldlinien liegt, kann es ja für eine dreidimensionale Kugel als Massekonzentration garnicht geben! Denn keine 2 Feldlinien der gravitierenden Masse sind parallel zueinander. Liegt also eine der Seiten des Dreiecks parallel zu einer Feldlinie, gibt es direkt daneben sofort unendlich viele Feldlinien zu denen die Seite nicht parallel ist...


    Das ist deshalb der Fall weil ja für unsere Grundvoraussetzung "inhomogenes Gravitationsfeld" die Massekonzentration eben nicht unendlich ausgedehnt sein darf, sonst wäre das Feld homogen. In einem homogenen Feld spürt der Beobachter dann natürlich auch Beschleunigung, aber keine Gezeitenkraft, also keine Deformation. Damit ist dann wieder die Analogie zu Gravitationswellen gebrochen, und man kann prinzipiell zwischen beiden unterscheiden.


    Gravitationswellen haben soweit man weiss keine Dispersion. Wheeler, Thorne & Misner ist wirklich ein empfehlenswertes Buch, Deinen Postings nach zu urteilen würde ich Dir diese Lektüre auch ohne Bedenken empfehlen [;)]



    Viele Grüsse,
    Dominik

  • Hallo Dominik,


    darf ich noch ein paar Aspekte nachfragen, wobei ich mich ganz auf die Winkelsumme als Maß für eine Krümmung beschränken möchte. Mir fehlt noch immer das Verständnis für die Krümmung in Abhängigkeit von der Situation. Danke für Deine Geduld.


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: DK279</i>
    <br />Was Du zur Winkelsumme in Dreiecken schreibst stimmt grundsätzlich natürlich. Ich denke aber immer noch (wobei das jetzt auch erstmal nur eine Vermutung ist), dass des Rätsels Lösung in der Dreidimensionalität des Raumes steckt, im Unterschied zu den Denkmodellen "2D + in einer dritten Dimension gekrümmt":<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Darf ich das konkret tatsächlich so verstehen, daß bei einer durchlaufenden Gravitationswelle die Winkelsumme und damit eine Krümmung in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung in Abhängigkeit von der Phase oszilliert? Und wenn ja, 180° +-x°, oder (180+x)° +-x°? Das müßte doch die Theorie eigentlich hergeben, oder?


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: DK279</i>
    Das von Dir angesprochene zweidimensionale Dreieck das parallel zu den Feldlinien liegt, kann es ja für eine dreidimensionale Kugel als Massekonzentration garnicht geben!<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Ist klar, ich habe mich unglücklich ausgedrückt.
    Hoffentlich überziehe ich jetzt den Bogen nicht:
    Zwei Dreiecke:
    a) die Ebene zeigt in Richtung des Gravitationszentrums.
    b) die Ebene ist senkrecht zu a)


    Zwei Situationen dieser Dreiecke:
    A) sie sind im Gravitationsfeld stationär.
    B) sie befinden sich im freien Fall.


    Welche Winkelsumme erhalten wir qualitativ in diesen 4 Situationen?


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: DK279</i>
    In einem homogenen Feld spürt der Beobachter dann natürlich auch Beschleunigung, aber keine Gezeitenkraft, also keine Deformation. Damit ist dann wieder die Analogie zu Gravitationswellen gebrochen, und man kann prinzipiell zwischen beiden unterscheiden.
    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Verstanden und abgehakt.


    Viele Grüße, Günter

  • Hi alle,


    ich will mich kurz einführen: Ich bin in (wenigen) anderen Foren unterwegs, manch einer kennt mich vielleicht als Ich. Einige haben sich beschwert, dieser Name sei schlecht handhabbar, deshalb (und weil belegt) habe ich hier einen viel eindeutigeren gewählt.
    Ich bin vorwiegend an Physik interessiert und selber kein Astronom, deshalb werde ich wohl nur sporadisch und nur in diesem Unterforum vorbeischauen.


    Ich steige hier mit einem Thema ein, in dem ich selber nicht hundertprozentig firm bin. Deshalb bitte nicht alles auf die Goldwaage legen, vielleicht irre ich mich hier und da.


    GünterD:
    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Darf ich das konkret tatsächlich so verstehen, daß bei einer durchlaufenden Gravitationswelle die Winkelsumme und damit eine Krümmung in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung in Abhängigkeit von der Phase oszilliert? Und wenn ja, 180° +-x°, oder (180+x)° +-x°? Das müßte doch die Theorie eigentlich hergeben, oder?
    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Ich denke, der Raum ist gar nicht gekrümmt. Die Krümmung betrifft nur die Raumzeit wegen der Dynamik der Welle. Würdest du sie auf einen "momentanen" Wert, den sie dann überall haben soll, einfrieren, ist sie weg, nur noch eine Koordinatentransformation.
    Also: Winkelsumme immer 180°.


    BTW, "positive" oder "negative" Krümmung gibt's nur in Ausnahmefällen. Normalerweise hast du 10 freie Parameter, jeder mit beliebigem Vorzeichen.

  • <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Jemand</i>
    <br />Ich denke, der Raum ist gar nicht gekrümmt. Die Krümmung betrifft nur die Raumzeit wegen der Dynamik der Welle. Würdest du sie auf einen "momentanen" Wert, den sie dann überall haben soll, einfrieren, ist sie weg, nur noch eine Koordinatentransformation.
    Also: Winkelsumme immer 180°.
    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Interessant, aber könntest Du das noch etwas erläutern? Weshalb gibt es zum momentanen Wert nicht eine momentane Krümmung?

    Wenn man die Welle dynamisch betrachtet, dann deformiert die Krümmung den Raum periodisch in einer stationären Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Oder wie habe ich mir die Krümmung der Raumzeit in der dynamischen Betrachtung vorzustellen? Zu dieser Krümmung müßte wohl eine "dynamische" Winkelsumme korrespondieren, aber wie liegt das Dreieck?


    Gruß, Günter

  • In der entsprechenden Ebene sind Abstände linear gestreckt bzw. senkrecht dazu gestaucht. Die entstehende Konfiguration ist immer noch flach, mit Winkelsumme 180°.
    Die Krümmung kommt m.E. erst dadurch, dass sich dieses Muster über Ort und Zeit <i>ändert</i>. Wenn man die Welle einfrieren und ihre Wellenlänge beliebig lang machen könnte, bliebe kein messbarer Effekt.
    Bezüglich der Winkelsummen in einer Ebene, die die Ausbreitungsrichtung enthält, habe ich hier ein Bild gefunden.


    p.s.:
    Sei vorsichtig bei der Interpretation des Bildchens, das sind Dreiecke, die von Lichtstrahlen gebildet werden. Was der eine als Raumkrümmung beschreibt, mag der andere als simple Aberration deuten. Raumkrümmung ist immer ein bisschen vage, weil koordinatenabhängig, definiert.

  • <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">[i]Bezüglich der Winkelsummen in einer Ebene, die die Ausbreitungsrichtung enthält, habe ich hier ein Bild gefunden.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Großartig, nach so einer Darstellung hatte ich gesucht, vielen Dank!


    Aber ich denke Du irrst in der Interpretation. Die Bildchen liegen nur der Darstellung halber in z-Richtung. Die relativen Beschleunigungen finden in der x-y-Ebene statt, nicht in Ausbreitungsrichtung. Das kann man natürlich nicht zeigen, wenn die Dreiecke senkrecht zur Papierebene stehen.


    Demnach oszilliert die transversale Raumkrümmung im Abstand von pi/2 zwischen euklidisch - sphärisch - euklidisch - hyperbolisch - ... .


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">
    Sei vorsichtig bei der Interpretation des Bildchens, das sind Dreiecke, die von Lichtstrahlen gebildet werden. <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Diese Bedenken teile ich eher nicht, man hat ja auch auch den durch das Licht des CMB gebildeten 1° Winkel genommen, um auf ein euklidisches Universum zu schließen.
    Und unter den Dreiecken steht ausdrücklich: "The Propagation of spacetime curvature."


    Danke und Gruß, Günter

  • <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Die Krümmung kommt m.E. erst dadurch, dass sich dieses Muster über Ort und Zeit ändert.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Der Gravitationslinseneffekt, bei dem zwei parallele Strahlen (Extremform eines Dreiecks) sich hinter dem Massenzentrum fokussieren, ergibt für mich nach Adam Riese eine Dreieckssumme über 180°. Und dabei muss sich nichts bewegen. Denn auch ohne bewegten Lichtstrahl und ortsfesten Massen wäre die Raumkrümmung unverändert so.


    Wo ist da mein Denkfehler?


    Die Längenveränderungen und Winkelveränderungen von Messeinrichtungen beim Durchgang von Gravitationswellen sind m.E. nur durch Projektion der Raumzeit-Potentiale der Gravitation auf die Flächen/Ebenen der Messeinrichtung berechenbar. Ich stelle mir das bildhaft vor: Eine Kugelwelle (als Idealform einer Gravitationswelle) trifft auf einen "Luftballon". Wie verformt sich dieser während der Durchwanderung der Welle? Mein Bauchgefühl sagt mir: Er wird zu einem diskussförmigen Gebilde gestaucht, dass zudem noch wie ein mittig eingedrücktes Sofakissen deformiert ist.


    Gruß

  • Hi Günter,
    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Aber ich denke Du irrst in der Interpretation.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Kann sein. Das geht nicht klar hervor aus der Beschreibung.
    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Diese Bedenken teile ich eher nicht, man hat ja auch auch den durch das Licht des CMB gebildeten 1° Winkel genommen, um auf ein euklidisches Universum zu schließen. <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Eben. Und wenn du jetzt ein großes (statisches) Dreieck bauen würdest, denkst du sicher, dass die Winkelsumme 180° wäre. Dem ist aber nicht so.
    Wie gesagt, sei lieber vorsichtig bei der Interpretation, das ist absolut nicht trivial.
    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Und unter den Dreiecken steht ausdrücklich: "The Propagation of spacetime curvature."<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Warum zitierst du das? Ich verstehe den Zusammenhang nicht. Bloß der Korrektheit halber, da steht "The propagation of <i>a wave of</i> spacetime curvature.", falls das einen Unterschied macht.

  • <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Der Gravitationslinseneffekt, bei dem zwei parallele Strahlen (Extremform eines Dreiecks) sich hinter dem Massenzentrum fokussieren, ergibt für mich nach Adam Riese eine Dreieckssumme über 180°. Und dabei muss sich nichts bewegen. Denn auch ohne bewegten Lichtstrahl und ortsfesten Massen wäre die Raumkrümmung unverändert so.


    Wo ist da mein Denkfehler?<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Keiner eigentlich, außer dass wir gar nicht vom Gravitationslinseneffekt sprechen.


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Die Längenveränderungen und Winkelveränderungen von Messeinrichtungen beim Durchgang von Gravitationswellen sind m.E. nur durch Projektion der Raumzeit-Potentiale der Gravitation auf die Flächen/Ebenen der Messeinrichtung berechenbar.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Das ergibt für mich keinen Sinn. Ein Potential ist normalerweise ein Skalar, das kann man nicht auf Ebenen projizieren. Den Begriff "Raumzeitpotential der Gravitation" kenne ich nicht.
    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Mein Bauchgefühl sagt mir: Er wird zu einem diskussförmigen Gebilde gestaucht, dass zudem noch wie ein mittig eingedrücktes Sofakissen deformiert ist.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Bauchgefühl ist selten zu was gut in der ART. Wo sollte es herkommen? wir haben ja keine tatsächlichen Erfahrungen in diesen Dingen.
    Deine Beschreibung scheint mir auch eher auf eine Stoßwelle in Luft zu passen, wenn die Kugel groß im Vergleich zur Wellenkrümmung ist. Das ist etws ganz anderes als eine so gut wie ebene Gravitationswelle.
    Was tatsächlich rauskommt ist eher ein oszillierendes Ellipsoid mit relativen Hauptachsendurchmessern von übertrieben (x,y,z)=(1/2 , 1 , 2), wenn die Welle in y-Richtung unterwegs ist.


    Meine Aussage zur Flachheit einer eingefrorenen, beliebig langen Welle war zwar auch eher (mathematisches, nicht physikalisches) Bauchgefühl, wegen der Linearität der Gleichungen. Aber dem traue ich auch nicht genug, deshalb habe ich das noch vom Computer nachrechnen lassen. Kann immer noch falsch sein, weil ich z.B. den Computer nicht bedienen kann, hat aber wenigstens eine Chance auf Richtigkeit.

  • Hallo Kalle,


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Kalle66</i>
    Der Gravitationslinseneffekt, bei dem zwei parallele Strahlen (Extremform eines Dreiecks) sich hinter dem Massenzentrum fokussieren, ergibt für mich nach Adam Riese eine Dreieckssumme über 180°. Wo ist da mein Denkfehler?<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Dem Gravitationslinseneffekt liegt die Ablenkung von Licht durch eine (linsende) Masse zugrunde. Vielleicht übersiehst Du, daß hier kein durch drei Punkte im Raum definiertes Dreieck (durch Licht, das diese Punkte passiert) ausgemessen wird.


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Kalle66</i>
    Ich stelle mir das bildhaft vor: Eine Kugelwelle (als Idealform einer Gravitationswelle) trifft auf einen "Luftballon". Wie verformt sich dieser während der Durchwanderung der Welle? Mein Bauchgefühl sagt mir: Er wird zu einem diskussförmigen Gebilde gestaucht, dass zudem noch wie ein mittig eingedrücktes Sofakissen deformiert ist.
    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Ich will's versuchen.
    Nennen wir die Ausbreitungsrichtung wie üblich z, dann steht die x-y-Ebene darauf senkrecht. Der Ballondurchmesser sei &lt; pi/2. Damit reagiert er als ganzes gleichartig auf die Raumverzerrung. Zum Vergleich: Ein entsprechend kleiner Korken tanzt der Periode einer Wasserwelle folgend auf und ab. Ist er größer als die Wellenlänge, zerren entgegengesetzte Kräfte an ihm.


    Nun durchläuft eine Gravitationswelle den Luftballon. Nehmen wir willkürlich den Moment Periode = 0, an dem das Maximum der Welle gerade durch die Ebene verläuft, die durch den Mittelpunkt des Ballons geht. Die Raumverzerrung erfolgt (wie beim Korken auf der Wasserwelle) senkrecht zu z, also in der x-y-Ebene. Der Ballon sei in diesem Moment in x-Richtung maximal gedehnt und gleichzeitig in y-Richtung maximal gestaucht. Mit Voranschreiten der Welle nimmt diese Deformation ab, durchläuft bei pi/2 den Zustand kreisförmig, verzerrt sich 90° gedreht (Dehnung in y-, Stauchung in x-Richtung) und erreicht bei pi (Minimum der Welle) die maximale Deformation in dieser Richtung. Der Ballon pendelt in der x-y-Ebene also zwischen aufeinander senkrecht stehenden elliptischen Verzerrungen hin und her, wobei die Kugelform durchlaufen wird. In z-Richtung gibt es keine Abstandsveränderungen. Das Bild setzt idealisierend voraus, daß die Punkte auf dem Ballon kräftefrei snd und somit den Geodäten folgen können.


    Der Ballon ist als Beispiel nicht ganz einfach, weil man alle seine in der x-y-Ebene parallel liegenden Scheiben betrachten muß.
    Mir gefällt diese http://web.physik.rwth-aachen.…lectures/sem02/touni2.pdf Darstellung S. 4 gut, bei der die Gravitationswelle einen flexiblen Schlauch in Längsrichtung durchläuft.


    Grüße, Günter

  • Hallo Jemand,


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Jemand</i>
    <br />
    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">
    Diese Bedenken teile ich eher nicht, man hat ja auch auch den durch das Licht des CMB gebildeten 1° Winkel genommen, um auf ein euklidisches Universum zu schließen. <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Eben. Und wenn du jetzt ein großes (statisches) Dreieck bauen würdest, denkst du sicher, dass die Winkelsumme 180° wäre. Dem ist aber nicht so.
    Wie gesagt, sei lieber vorsichtig bei der Interpretation, das ist absolut nicht trivial.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Trivial nicht, ich stimme Dir zu. Vermutlich hinkt mein Beispiel insofern, als die Basis dieses kosmischen Dreiecks ja ein berechneter Wert ist, dem die Schallwellenlänge zugrunde liegt. Mit dieser Basis unter einem Winkel von 1° ergibt sich ein Dreieck mit der Winkelsumme von 180°.
    Wenn das Universum euklidische Geometrie hat, dann haben große Dreiecke eine Winkelsumme von 180°. Bezweifelst Du das, und wenn ja weshalb?


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Jemand</i><br />
    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Und unter den Dreiecken steht ausdrücklich: "The Propagation of spacetime curvature."<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Warum zitierst du das? Ich verstehe den Zusammenhang nicht. Bloß der Korrektheit halber, da steht "The propagation of <i>a wave of</i> spacetime curvature.", falls das einen Unterschied macht.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">


    Den Untertext habe ich zitiert, weil "curvature" sich auf Berechnungen stützt, die sich in den Dreiecken ausdrücken und nicht


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><b>Zitat von Jemand</b>:
    Sei vorsichtig bei der Interpretation des Bildchens, das sind Dreiecke, die von Lichtstrahlen gebildet werden.
    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    auf Lichtstrahlen. Die Interpretation der Dreiecke (sphärisch, euklidisch, hyperbolisch) ist eindeutig. Oder bist Du anderer Meinung?


    Gruß, Günter

  • Hi Günter,


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Wenn das Universum euklidische Geometrie hat, dann haben große Dreiecke eine Winkelsumme von 180°. Bezweifelst Du das, und wenn ja weshalb?
    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Ja, das bezweifle ich. Das ist eben einer dieser feinen Punkte: nicht die Raumzeit ist euklidisch (oder pseudoeuklidisch, sprich: flach), sondern der Raum. Ersteres wäre eine koordinatenunabhängige Aussage, da gäb's wenig zu deuteln. Bei letzterem muss man erst definieren, was "Raum" ist und was Zeit.
    In kosmologischen Koordinaten (Robertson-Walker) ist Zeit die Eigenzeit von mitbewegten Beobachtern, und "Raum" ist eine Hyperfläche, die senkrecht zu den Weltlinien dieser Beobachter ist. Da diese Beobachter alle in relativer Bewegung sind, unterscheidet sich diese Definition deutlich von der üblichen, bei der zueinander ruhende Beobachter das Koordinatensystem aufspannen. Wenn der kosmologische Raum also euklidisch ist, dann ist der "normal" definierte Raum gekrümmt, in unserem Fall positiv. Die Winkelsumme statischer Dreiecke ist damit größer als 180°.
    Der kosmologische Raum dagegen wird von (mit-)bewegten Beobachtern aufgespannt, d.h. wenn sich die Eckpunkte nach Hubbles Gesetz voneinander eintfernen, dann ist die (z.B. mit Lichtstrahlen ausgemessene) Winkelsumme gleich 180°.
    Dieses Messergebnis muss natürlich auch vorhergesagt werden, wenn man in den üblichen Koordinaten arbeitet. Dort würde man die Aberration durch die Bewegung der Empfänger berücksichtigen: dieser sieht die beiden anderen ja zu dem Zeitpunkt, als sie das Licht aussandten. Da standen sie einander noch näher, deswegen ist der Winkel, unter dem er sie sieht, kleiner, und die Winkelsumme passt wieder.
    Langer Rede kurzer Sinn: "Raumkrümmung" ist nichttrivial und irreführend, wenn man nicht höllisch aufpasst.
    Ein sehr guter Einstieg in die Thematik wäre das Milne-Modell. Dort wird aus der ganz normalen flachen Minkowski-Raumzeit durch eine reine Koordinatentransformation eine FRW-Raumzeit mit negativ gekrümmtem Raum. Was die Winkelsumme von statischen Dreiecken natürlich nicht kümmert.


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Den Untertext habe ich zitiert, weil "curvature" sich auf Berechnungen stützt, die sich in den Dreiecken ausdrücken und nicht auf Lichtstrahlen.
    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    "...as determined by light ray triangles..."
    Doch, Lichtstrahlen. Also Berechnungen, die sich in Dreiecken ausdrücken, die auf Lichtrahlen basieren. Glaub' mir, Lehrbuchautoren wissen, warum sie manche Sachen ganz genau ausdrücken. Dich holt sonst der Teufel.
    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">
    Die Interpretation der Dreiecke (sphärisch, euklidisch, hyperbolisch) ist eindeutig. Oder bist Du anderer Meinung?<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Wie eben gesagt bin ich anderer Meinung. Wenn wir von einer dynamischen Situation ausgehen, kann ich mir gut vorstellen, dass Lichtstrahl-Dreiecke anders aussehen als Dreiecke von Raumgeodäten in der Ebene. Ich habe das alles nicht explizit durchgerechnet (täte mich auch schwer damit), aber mein rudimentäres mathematisches Verständnis und mein Computer sagen mir, dass die Geometrie in der transversalen Ebene euklidisch ist, wenn man die Zeit einfriert. Wenn diese Dreiecke in derselben Ebene gemeint sind (ich denke, ich stimme dir da zu), dann hat m.E. die Lichtlaufzeit einen entscheidenden Einfluss auf die gemessene Geometrie.

  • <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: GünterD</i>
    <br />Hi Jemand,


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Jemand</i>
    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">
    Die Interpretation der Dreiecke (sphärisch, euklidisch, hyperbolisch) ist eindeutig. Oder bist Du anderer Meinung?<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Wie eben gesagt bin ich anderer Meinung. Wenn wir von einer dynamischen Situation ausgehen, kann ich mir gut vorstellen, dass Lichtstrahl-Dreiecke anders aussehen als Dreiecke von Raumgeodäten in der Ebene.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Vielleicht übersiehst Du, daß die Berechnung ja von der ebenen Welle ausgeht (s. Text), da es in z-Richtung keine Krümmung gibt. Deshalb zeigen die Dreiecke die Krümmung in der x-y-Ebene als Momentanwerte. Der Hinweis "...as determined by light ray triangles..." belegt, daß es aus Geodäten geformte Dreiecke sind, entsprechend ihrer Krümmung.


    Auch wenn wir uns nicht ganz einig sind, Dein Link ist eine wahre Fundgrube!


    Dank und Gruß, Günter
    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

  • Hallo zusammen,


    das sind sehr spannende Fragen, und auch nach mehr Recherche (daher dauert es eine nennenswerte Zeit zwischen meinen Antworten hier [;)] ) stehe ich immernoch vor dem Problem dass eine intuitive Lösung in 3D wegen der nicht vorhandenen analytischen Wellengleichung nicht so ohne weiteres machbar ist.


    Folgendes würde aber sagen: Eben weil man eine perfekte ebene Welle nähert ändert sich die Winkelsumme eines Dreieckes das in einer Ebene liegt die senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung der Welle steht nicht. Das ist dann auch ein fundamentaler Unterschied zum inhomogenen Gravitationspotential: Bei der Gravitationswelle sieht das Dreieck beim Eintreffen der Welle eine isotrope "beschleunigte Expansion", aber nur(!streng transversale Welle) innerhalb der (2D-)Ebene in der das Dreieck liegt. Hier würde dann wirklich mal die Anschauung mit dem Gummituch passen: Wenn man das an jedem Punkt der Umrandung packt und gleichmässig auseinanderzieht "expandiert" ein aufgezeichnetes Dreieck, aber bleibt euklidisch...


    Soweit mein momentaner Stand dazu, weitere Diskussion gerne willkommen (-&gt; vielleicht wäre es echt nicht schlecht einen Relativisten hinzuzuziehen, z.B. einen der solche Dreiecke für eine Website visualisiert hat [;)] )


    Viele Grüsse,
    DK

  • Hi,


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: DK279</i>
    <br />Soweit mein momentaner Stand dazu, weitere Diskussion gerne willkommen (-&gt; vielleicht wäre es echt nicht schlecht einen Relativisten hinzuzuziehen, z.B. einen der solche Dreiecke für eine Website visualisiert hat [;)] )
    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Eine gute Idee, Dominik, hast Du ev. einen Draht zu Markus Pössel? http://www.einstein-online.info/vertiefung/FormRaum. Wenn nicht versuche ich es mal.


    Hintergrund, weshalb mich die Sache <i>auch</i> interessiert:
    Manche Leute kritisieren die interferometrische Messung von Gravitationswellen mit dem Argument, die Laserstrahlen durchliefen gekrümmten Raum. Sie würden deshalb eine Zeitdilatation erleiden, sodaß die Ergebnisse verfälscht wären. Eine Einzelmeinung ist sogar, die Zeitdilatation würde Dehnung/Stauchung exakt kompensieren, was sicherlich Quatsch ist, dann hätten sich alle damit befassten Physiker geirrt.


    David G. Blair spricht hier S. 11 http://books.google.de/books?i…=PA11#v=onepage&q&f=false von "plane wave front moves down .. " und zeigt die Krümmung mittes geodätischer Dreiecke. Welchen Sinn hätte das, wenn es in der x-y-Ebene aber gar keine
    Krümmung gibt?


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Hier würde dann wirklich mal die Anschauung mit dem Gummituch passen: Wenn man das an jedem Punkt der Umrandung packt und gleichmässig auseinanderzieht "expandiert" ein aufgezeichnetes Dreieck, aber bleibt euklidisch...
    <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Hmm, aber wie verlaufen denn während dieses Vorganges die Geodäten, Dominik? Man muß ja alle Punkte als mitbewegt betrachten. Du ziehst ja nicht nur in x-Richtung, sondern stauchst gleichzeitig in y-Richtung.


    Hier http://www.mpa-garching.mpg.de…s/GW/skript_detectors.pdf findet sich S. 5 die Kommentierung einer weiteren Kritik, die sich auf die gleichzeitige Dehnung von Metrik und Lichtwellenlänge bezieht. Sie wird mit dem Hinweis auf die Laufzeit des propagierenden Wellenzugs entkräftet. Allerdings drückt sich doch der Lauzeitunterschied in den beiden Armen als Phasenverschiebung aus. Insofern sollte die Dehnung der Lichtwellenlänge trotzdem noch eine Rolle spielen, oder? Aber wahrscheinlich eine untergeordete. Ich bin nicht sicher, wie seht Ihr das?

    Grüße, Günter

  • Hallo zusammen und Gruß an 'Ich'


    für eine wirklich gute Simulation/Berechnng realer Experimente muss man (sicher) auch die Position des Beobachters berücksichtigen. Man kann dann die Lichtstrahlen von den Testobjekten (Dreiecke usw.) zu dem Beobachter berechnen und sollte dann nach einiger Arbeit auch eindeutige Aussagen bekommen.


    Ich habe dazu leider kein weiteres vorhandenes Material.
    Gruß


    Bernhard

  • Hallo Günter,


    ich habe mal Markus Pössel (meinen Chef[;)]) auf die Diskussion hingewiesen, er läßt folgendes ausrichten


    <hr noshade size="1">
    Sorry fuer die mangelnde Systematik; hier zumindest ein paar
    Querbeet-Beitraege zur Diskussion:


    "Die Geometrie der Raumzeit kann sphärisch, euklidisch oder hyperbolisch
    sein."


    Das ist die globale Raumgeometrie (Raum, nicht Raumzeit) fuer ein
    homogenes und isotropes Universum als Ganzes. Ausserhalb dieses einfachen
    Sonderfalles laesst sich Raumkruemmung, und schon gar nicht
    Raumzeitkruemmung, nicht mehr so einfach pauschal klassifizieren - wie
    Teilnehmer Jemand sagt, da gibt es dann mehr Freiheitsgrade.


    Die einfachen Gravitationswellen sind, aehnlich wie die einfachsten
    elektromagnetischen Wellen, Vakuumloesungen - die Art von Kruemmung
    (Einsteintensor oder Riccitensor), die Masse und Energie an der Raumzeit
    hervorrufen, ist dort in der Tat Null.


    "Ein sehr guter Einstieg in die Thematik wäre das Milne-Modell. Dort wird
    aus der ganz normalen flachen Minkowski-Raumzeit durch eine reine
    Koordinatentransformation eine FRW-Raumzeit mit negativ gekrümmtem Raum.
    Was die Winkelsumme von statischen Dreiecken natürlich nicht kümmert."


    Nein, aus einer ungekruemmten Raumzeit wird durch reine
    Koordinatentransformation niemals eine gekruemmte. Vielleicht geht hier
    der Umstand, dass man bei Milne eine Friedmann-Metrik verwendet, mit dem
    Begriff der FRW-Raumzeit durcheinander?


    "Manche Leute kritisieren die interferometrische Messung von
    Gravitationswellen mit dem Argument, die Laserstrahlen durchliefen
    gekrümmten Raum. Sie würden deshalb eine Zeitdilatation erleiden, sodaß
    die Ergebnisse verfälscht wären. Eine Einzelmeinung ist sogar, die
    Zeitdilatation würde Dehnung/Stauchung exakt kompensieren, was sicherlich
    Quatsch ist, dann hätten sich alle damit befassten Physiker geirrt."


    Da kommt zum Tragen, dass es eben in der Allgemeinen Relativitaetstheorie
    schoen viele unterschiedliche Koordinatensysteme gibt, um ein und dasselbe
    Phaenomen zu beschreiben. Bei den (einfachen, linearen d.h. genaehrten)
    Gravitationswellen gibt es welche, in denen sich die Testmassen nicht
    bewegen, aber sich die Geschwindigkeit des Lichts aendert, und solche, wo
    die Testmassen mitschwingen. Entscheidend ist aber in beiden Faellen:
    Welche Phasen der Lichtwellen treffen dort aufeinander, wo das Licht am
    Strahlteiler wieder kombiniert wird? Das ist von den gewaehlten
    Koordinaten unabhaengig, und da kommt eindeutig heraus, was die
    interferometrischen Detektoren messen. Dass man dabei mit Licht die
    Entfernung der Testmassen bestimmt, finde ich als Bild etwas irrefuehrend.
    Ich habe dazu mal eine Animation angefangen, aber momentan steht die
    Fertigstellung auf meiner To-Do-Liste nicht sonderlich weit oben; sorry.


    <hr noshade size="1">


    Viele Grüße,
    Caro

  • Hi Günter,


    jetzt hab' ich's wasserdicht gemacht, damit du mir such glaubst. Hier der Beweis:
    Eine ebene Gravitationswelle in Störungsrechnung hat in der x-y-Ebene die Metrik ds² = (1+a)dx² + 2bdxdy + (1-a)dy², wobei die a,b Funktionen von t und z sind und a,b &lt;&lt; 1 gilt. (Findest du so ähnlich in der englischen Wikipedia).
    Wenn man die Welle einfriert und nur eine x-y-Ebene betrachtet, dann sind a und b Konstanten. Die verwendeten x- und y-Koordinaten sind dann nur schiefwinklige, gestreckte Versionen der Normalkoordinaten x',y'.


    Die Transformation lautet z.B.:
    x' = sqrt((1-a²-b²)/(1-a))*x
    y' = b/sqrt(1-a)*x + sqrt(1-a)*dy
    Kannst du selbst nachprüfen, dass dann gilt
    ds² = dx'²+dy'² = (1+a)dx² + 2bdxdy + (1-a)dy²
    Also ist der Raum in der x-y-Ebene flach, wie behauptet.


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Deshalb zeigen die Dreiecke die Krümmung in der x-y-Ebene als Momentanwerte. Der Hinweis "...as determined by light ray triangles..." belegt, daß es aus Geodäten geformte Dreiecke sind, entsprechend ihrer Krümmung. <hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    (Frage: wie zitiert man mit Autor?)
    Ich hab' dich gewarnt, dich holt der Teufel, wenn du dich nicht genau ausdrückst. Jetzt hat er dich am Schlafittchen.
    Die Lichtstrahlen laufen entlang Nullgeodäten der <i>Raumzeit</i>. Im Allgemeinen ist die Projektion solcher Geodäten in einen Raum oder eine Ebene (das Bild im Buch ist so eine Projektion) keine Geodäte dieses Raums oder dieser Ebene. In dem kosmologischen Beispiel von mir war das so, aber hier eben nicht.


    Um festzustellen, ob ein Raum / eine Ebene flach ist, musst du schauen, ob Geodäten <i>dieses Raums</i> gerade sind. Es ist uninterssant, ob Geodäten in irgendeiner Hypermannigfaltigkeit (hier die 4D-Raumzeit), in die dieser Raum eingebettet ist, gekrümmt sind oder gekrümmt projiziert werden.

  • Hi Caro,


    <blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Nein, aus einer ungekruemmten Raumzeit wird durch reine
    Koordinatentransformation niemals eine gekruemmte.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
    Da ist er wieder: genau ausdrücken und genau lesen, sonst kommt der Beelzebub und stiftet Verwirrung.
    Ich habe gesagt "eine FRW-Raumzeit mit negativ gekrümmtem <b>Raum</b>". Die Raumzeit ist immer noch flach, aber durch die andere Koordinatenwahl - basierend auf bewegten, nicht statischen Beobachtern - wird der Raum negativ gekrümmt. Was auch seinen Sinn hat: wie gesagt, diese Beobachter messen tatsächlich eine kleinere Winkelsumme, auch wenn man das in der SRT mit Aberration erklären würde.
    Das ist ein ganz normales Beispiel aus der FRW-Familie von Kosmologien übrigens, mit Omega_alles = 0 und H~1/t. Deswegen ist es auch so wertvoll, weil man damit den Einfluss von Koordinaten besser versteht.
    Beispiel: auch in dieser leeren Raumzeit bewegen sich Testobjekte mit "Überlichtgeschwindigkeit" voneinader fort. Da muss man nicht Raumdehnung und ART bemühen, das kommt einfach aus der Koordinatenwahl.

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