Sphärometer kalibrieren

Hallo Gert

Bei den möglichen Ungenauigkeiten kannst Du noch hinzufügen :
4. Die Mikrometerachse steht nicht genau senkrecht auf der Ebene der drei Auflagepunkte (und oder hat Spiel).
Damit komme ich auf 8 unbekannte Größen .
So viele sinnvolle Variationen bekomme ich mit den Endmaßen nicht hin .
Was aber gut geht ist der Test auf Symetrie .
Dann bekommst Du schon mal eine Vorstellung von der Genauigkeit deines Sphärometers .

Viele Grüße Rainer

Nimm einen bekannten (interferometrisch vermessenen) Parabolspiegel als Referenzfläche. Kugelspiegel wäre schöner, da hier die Sagitta (deines Sphärometers) lageunabhängig ist. Ideal wäre natürlich eine flache Fläche. Maßtische (Granittische) sind aber nicht selbstverständlich. Der Rest ist dann Rechenarbeit.

Parallaxenfehler des Mikrometers dürften das geringste Problem sein, wenn er halbwegs vernünftig senkrecht zur Auflagefläche der Außenpunkte ist. Und je näher die Kalibrierung an der Auslenkung des zu messenden Objekts liegt, desto weniger Fehler schleicht sich ein.

Hallo Gert,

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Gert</i>
1. Die Abstände vom Mikrometerstöpsel zu den 3 Auflagepunkten sind alle unterschiedlich. Alle sind unbekannt.
2. Die Winkel zwischen den Auflagepunkten sind alle nicht 120grad
3. Der Mikrometerstöpsel ist nicht in der Mitte der Anordnung.
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Ich würde sagen die Fehler 2 und 3 sind in erster Näherung irrelevant. Durch die drei Auflagepunkte wird ein Kreis festgelegt und die korrekte Mikrometer-Position wäre im Zentrum dieses Kreises. Das gilt auch dann wenn die Winkel von 120° abweichen. Wenn der Mikrometer-Tastkopf nun etwas neben der optimalen Position sitzt, dann wird der Messwert etwas kleiner. Aber nicht viel kleiner, weil das Spiegel-Profil in erster Näherung eine Parabel ist, also eine quadratische Funktion.

Der grösste Fehler entsteht durch Punkt 1, also durch den unbekannten Durchmesser des Auflagepunkt-Kreises. Aber das lässt sich ja durch eine Referenzmessung herausfinden.

Gruß
Michael

Auflagepunkte vermessen dürfte nicht so schwierig sein. Die Kontaktpunkte sollten aus Kugeln bestehen (kugelförmig sein). Damit lässt sich geometrisch am einfachsten rechnen.
Abstände kann man recht einfach ermitteln: Einen Punkt festhalten (Kugel auf ein Lochring setzen), die anderen bewegen sich dann wie bei einem Zirkel und hinterlassen Schleifspuren. Selbst der Kontaktpunkt des Mikrometertasters lässt sich so einmessen. Wiederholt man das mit einem zweiten Kontaktpunkt ist die Geometrie des Sphärometers bestimmbar. Das sollte locker auf 0,2 mm gehen, z.B. auf Zeichenpapier.

Hi Gert,
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Wie wandelt man die normale Sphärometergleichung ab, um das nicht in der Mitte sitzende Mikrometer zu simulieren? Ich würde das gerne mal als Tabelle durchrechnen.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
Denk dir den Messpunkt als Scheibe, dessen Größe die Abweichung von der Mitte ist, und die nur an einem Randpunkt Kontakt zur zu vermessenden Sphäre hat. Gedanklich auf 2D reduziert ein Sehnenschnitt, um den die Sagitta kleiner wird.

***

Die Herleitung der Gleichung geht über folgende Überlegungen:

Die zu prüfende Sphäre wird von einer Ebene geschnitten, welche wiederum durch die drei Kontaktpunkte des Sphärometers in ihrer Lage definiert ist. Das Schnittbild einer Ebene und einer Kugel ist ein Kreis (gleichzeitig Umkreis des Dreiecks der Kontaktpunkte des Sphärometers). Den größten Pfeiltiefenwert hat man, wenn der Taster im Mittelpunkt des Umkreises (als Lot) die Tiefe misst. Mitte des Umkreises eines Dreiecks ... siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Umkreis

Gruß

Hallo Kalle

Wenn die Kontaktpunkte Kugeln sind,hast du einen von der Krümmung des Spiegels abhängigen Unterschied im Radius des Sphärometers: Bei einer gewölbten Fläche ist er kleiner als bei einer konkaven. Maksutov hat diesen Unterschied auf die Formel gebracht. Aber die praktischen Vorteile einer Kugelauflage sind klar gegeben,habe gute Erfahrungen damit gemacht.

Gruss Emil

Emil,
das ist das kleinste Problem. -&gt; Kugeln stehen immer im Lot zur Kontaktfläche (zur Tangente des Prüflings am Kontaktpunkt) und symmetrisch im Umkreis. Kennt man den Umkreis, spielt das konkrete Dreieck des Sphärometers keine Rolle.

Jede andere Form ist schwieriger. Punkte gibt es halt nicht im realen Leben. Alles hat einen Radius, dann lieber gleich drei Kugeln aus einem Kugellager ... gehärtet und bis in den Submikrometerbereich rund.

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Gert</i>
Wie wandelt man die normale Sphärometergleichung ab, um das nicht in der Mitte sitzende Mikrometer zu simulieren? Ich würde das gerne mal als Tabelle durchrechnen.
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Das Profil eines Parabolspiegels wird durch diese Gleichung beschrieben:

y = x^2 / (4 * f)

mit
x = Koordinate in radialer Richtung
y = Höhe
f = Brennweite

Mal angenommen der Spiegel hat 1000mm Brennweite und der Messpunkt sitzt nicht in der Mitte (bei x=0) sondern 1mm daneben bei x=1mm,
dann misst man dort eine Höhe von 1/4000mm = 0.25µm, also weniger als das Auflösungsvermögen der Messuhr.

Gruß
Michael

Hallo Kalle
Wenn man einen Cassegrain oder einen Makutov-Meniskus macht, spielt das schon eine Rolle,welchen Sphärometer-Radius man in die Formel eingibt, um die Krümmungsradien rechnerisch zu bestimmen.Der Umkreisradius bestimmt sich durch die konkreten Kugelauflagepunkte.

Kugeln als Auflagepunkte sind deshalb sehr praktisch, weil man bei einer grösseren Optik mit dem Sphärometer herumfahren kann vom Zentrum zur Peripherie des Spiegels und anhand des Zeigerausschlages direkt sieht, ob der Spiegel sphärisch ist beim Feinschliff.

Gruss Emil

Emil, Gert

Vielleicht hilft diese Skizze:
Die Messuhren A und B sind seitlich versetzt und messen unterschiedliche Pfeiltiefen. Die Differenz in einem sphärischen Prüfling ergibt sich nach Pythagoras über das Dreieck SAB versus SC. SC ist der Krümmungsradius (SA übrigens auch) SB und AB sind die Katheten im rechtwinkligen Dreieck. Damit lässt sich jede beliebige Position der Messuhr berechnen.

E und F sind die Kontaktpunkte des Sphärometers auf dem Prüfling. Die Basisbreite des Sphärometer wird über die Kugelmitten definiert. Der Kugelradius vergrößert die Basisbreite E'F' im konkreten Fall auf die Strecke EF:
Die Strecke EF ist um das Verhältnis SE / SE' gestreckt gegenüber der Basisbreite (definiert über Kugelmitten).
Dabei ist SE = SE' + r

Das hört sich zunächst unschön an, wenn die Messung des Krümmungsradius eben vom Krümmungsradius abhängig ist. Aber die Gleichung kann man entsprechend auflösen.

Wenn man zum konkreten Sphärometer erst mal den Umkreis (Über Kugelmitten der Kontakte) ermittelt hat (via Schnittlinien der Mittelsenkrechten im Dreieck), dann rechnet man mit dem Durchmesser des Umkreises als Basisbreite des Sphärometers und interessiert sich nicht mehr dafür, wo die Dreieckspunkte des Sphärometers auf diesem Umkreis liegen. Jedes Dreieck in diesem Umkreis würde ein gleichwertiges Sphärometer ergeben.

Ob das Basisdreieck des Sphärometers blau, grün oder violett ist, spielt keine Rolle, solange die Messuhr in der Mitte des Kreises sitzt. Jede andere Position der Messuhr muss wie oben beschrieben korrigiert werden. Das grüne Dreieck ist rechtwinklig (Satz des Thales), die Messuhr ist auf der Hypothenuse (faktisch eine Balkenmessung, der dritte Punkt hält die Messuhr im Lot). Im violetten ist die Messuhr sogar außerhalb des Dreiecks (als Quadrat** wäre die Messuhr aber dann nicht in der Mitte des Umkreises)

PS: Ist die Messuhr nicht in der Mitte, dann muss man den Kontaktradius der Prüfspitze der Messuhr mit ähnlicher Logik einbauen.

<font color="yellow">Edit: überarbeitet</font id="yellow">

**
Außerhalb des Dreicks geht nur, wenn ein Winkel größer als 90° ist, damit geht eine quadratische Anordnung (drei Referenzpunkte + Prüfspitze nur, wenn die Prüfspitze versetzt zur Umkreismitte sitzt.
Es spielt aber für die Beurteilung keine Rolle, man kann deshalb keine Ränder besser messen, da dazu alle 4 Punkte in die Rechnung eingehen. Drei für die Bestimmung der Lage eines Umkreises und der vierte für die Pfeiltiefe am Messort.

Hallo Kalle,

Ja, aber bei der Eichung der Messuhr gibt es mit der Kugellösung nochmals zu rechnen:
Man legt das Sphärometer auf eine Planfläche und stellt die Uhr auf 0. Auf dem Kugelspiegel ist aber der Auflagepunkt anders.Dieses Kugeloffset (in deiner Terminologie) muss ermittelt und zur Pfeiltiefe addiert werden, sonst ergibt sich ein längerer Krümmungsradius als der Spiegel in Wirklichkeit hat.

Am Freitag habe ich zum Maksutov-Buch Zugang und will schauen, wie er das alles auf die Formel gebracht hat.

Gruss Emil

Emil,
was muss da auf ebener Fläche gerechnet werden? Stell das Sphärometer hin auf eine ebene Referenzfläche .. fertig oder schreib Dir den Grundwert auf.
In der Sphäre ergibt sich die Höhendifferenz aus dem Vergleich der Dreiecke SEF und SE'F', die einander ähnlich sind und sich um den Größenfaktor SE / SE' unterscheiden. Es gilt der Krümmungsradius des Prüflings KR = SE = SE' + r. Um den gleichen Faktor unterscheidet sich die Höhe im Dreieck. Und um diesen Faktor wird am Ende die gemessene Pfeiltiefe korrigiert, weil das Sphärometer mit seinen Aufstellkugeln den Prüfling seitlich an den Kugeln berührt. Gleiches gilt für den effektiven Umkreis der Messung in einer Sphäre, der so aus der Basisbreite abgeleitet wird.

Wie ich oben erwähnt habe, muss man die so gewonnene Gleichung nach dem Krümmungsradius erst mal auflösen, weil den will man ja ermitteln. Fertige Formeln machen da nur Sinn, wenn man weiß, welche Abstände da wie gemeint sind. Wer die so nicht selbst erstellen kann, blickt sonst bei der fertigen Formel auch nicht durch.

Unterm Strich hat das Sphärometer drei Kennwerte: Seine Basisbreite (Durchmesser des Umkreises E'F') und den Radius seiner Kontaktkugeln r. Als dritten Kennwert den seitlichen Versatz der Prüfspitze aus der Umkreismitte. Eine fertige Formel zur Eingangsfrage von Gert wirst du kaum finden, da alle da - so meine Vermutung - vom Idealfall ausgehen, dass die Prüfspitze in der Umkreismitte eingebaut ist.

Und ohne kugelförmige Kontakte wird es in der Realität nicht gehen. Selbst Nadeln haben an der Spitze einen Radius im Mikrometerbereich und verbiegen sich.

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Original erstellt von: Gert</i>
Wieso Parabolspiegel? Ziel der Messung ist doch ein Kugelspiegel. Deswegen ja auch 'Sphäro'meter.
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">

Das ist doch völlig egal ob man mit einer Parabel oder mit einem Kreisbogen rechnet, wenn es nur darum geht die Differenz der Pfeilhöhen auf der optischen Achse sowie 1mm daneben zu bestimmen. Ein Parabolspiegel mit 1000mm Brennweite und 2mm Durchmesser ist messtechnisch nicht unterscheidbar von einem gleich großen sphärischen Spiegel.

Gruß
Michael

Gert,
auf https://de.wikipedia.org/wiki/Umkreis sind die Formeln, für die Berechnung der Koordinaten des Umkreises für ein beliebiges Dreieck.

Das Anheben eines Aufstellfußes mit einem Endmaß liefert Dir relative Werte (Streckenteilung) für die Abstände, jedoch keine absoluten Werte für die Abmessungen. Die Genauigkeit dieser Streckenteilung ist abhängig von den Abmessungen und der Dicke des Endmaßes. Denk dann daran, das die beiden anderen Füße ein Scharnier darstellen und du eine Streckenteilung der Höhe im Dreieck bezogen auf diese beiden Punkte (Dreiecksseite) erhälst. Vorsicht, das Teilungsverhältnis in einem perfekten gleichseitigen Dreieck ist ein krummer Wurzelwert.

Zur Genauigkeit eine Abschätzung: Ein Balken mit 100 mm Länge, der mittig die Prüfspitze enthält und auf einer Seite mit einem 5 mm Endmaß angehoben wird, hebt sich in der Mitte 2,5 mm. Liegt die Messgenauigkeit bei +/-1 Mikrometer, lässt sich die Lage der Prüfspitze +/- 0,001 mm * 100 / 5 = 0,02 mm genau bestimmen. Ich denke, mehr als ausreichend.

Du wirst aber so nie herausfinden, wie groß der Umkreis (die Basis) deines Sphärometer ist. Dazu habe ich weiter oben meinen Zirkelvorschlag gemacht ...

Nachfolgend habe ich eine 10mm-Stahlkugel über ein Plastiklineal, das ich mit Filzstift präpariert habe, geschoben. Die Schleifspur dann mit umgedrehtem Okular und Smartphone fotografiert:

Man sieht die scharfen Kanten der Schleifspur (das andere ist das Gekritzel vom Filzstift), die insgesamt (habe jetzt keine Pixel gezählt) ~0,8 mm breit ist. Mit etwas Aufwand könnte ich hier die Mitte der Schleifspur auf 0,2 mm eingrenzen. Als Referenz sieht man die Millimeterteilung eines Geodreiecks, das ich einfach daneben gelegt habe. Geht sicher auch auf 0,1 mm, wobei man dafür erst mal ein Lineal haben muss, das hinreichend genau ist.

Die typische Genauigkeitsklasse für Stahlmaßbänder/Stahllinieale nach EG-Klasse II beträgt:
0,3 mm + 0,2 mm * L (Länge L in Meter).
Hölzerne Zollstöcke haben meist nur EG-Klasse III:
0,6 mm + 0,4 mm * L

Die Skala eines Messschiebers sollte - ausgefahren auf 100 mm oder mehr - besser als ~0,2 mm sein, die Ablesegenauigkeit via Nonius/Digitalerfassung liegt bei 0,05 mm. Das so meine Einschätzung.