Berechnung der ekliptikale Länge Lambda

Hallo!

Mit der exzentrischen Anomalie E, der Exzentrizität e und der großen Halbachse a bestimmt man den Radius r=a*(1-e*cos(E)). Mit E und e bestimmt man dann die wahre Anomalie v. Mit v und omega (Winkel Knoten-Planet) berechnet man das Argument der Breite u=omega+v. Mit u, r und der Bahnneigung i haben wir schon die Koordinaten der Bahnebene des Planeten.

Die Fallunterscheidung ist unnötig, denn tan(v/2)=sqr((1+e)/(1-e))*tan(E/2) liefert -180°<v<180° !

Dann kann man diese Koordinaten in das gewünschte KOS (z.B. geozentrisch äquatorial) umrechnen.

Schöne Grüße, Volker.

Hallo voda,

Die Lösung für Dein Problem findet sich in einer Datei auf einer Seite unter folgendem Link:

http://www.praxelius.de/index.html

Das Buch heisst:

Berechnungsgrundlagen für Amateurastronomen (auf der Seite rechts unten)

Es ist etwas kompliziert, an den Download heranzukommen.

Sowohl der Zugriff auf das Verzeichnis, als auch die Datei selber sind Passwort geschützt.

Die respektiven Passwörter findest Du im Impressum der Seite.

Enjoy!

MfG
Larry

...hier noch die Umrechnung Bahnebene->heliozentrisch ekliptikal:

cos(b)*cos(l-ak)=cos(u); ak:Länge des aufst.Knotens
cos(b)*sin(l-ak)=sin(u)*cos(i)
sin(b)=sin(u)*sin(i)

Wenn du zur Berechnung von l-ak die Funktion Tangens(x/2)=sin(x)/(1+cosx) verwendest, bekommst du (l-ak) wieder ohne Fallunterscheidung direkt als -180°<(l-ak)<180° !

Grüße, Volker.

0°<v<360° muss nicht sein,

wenn v<0, einfach 360° hinzuaddieren! (ist aber unnötig)

Grüße, Volker.

Hallo,

Ich habe mir nochmal angeschaut, was Du bisher gemacht hast.

Du hast noch ein Stück Weg vor Dir.

Ohne simultane Berechnung der Erdstellung geht es nicht.

Mit Deinem Problem habe ich mich vor 48 Jahren als Gymnasiast beschäftigt.

Das ging deshalb, weil wir als erste Schule Deutschlands mit Terminals an einen IBM
360 Großrechner im Leibnitz Rechenzentrum der Universität München angeschlossen waren, und damit in BASIC Programme entwickeln konnten.

In meiner schwachen Erinnerung ist es wie folgend:

1. Mit Keplergleichung aktuellen Winkel und Radiusvektor, vom Perihel beginnend, bestimmen. Und zwar 2 mal simultan für den Planeten und die Erde.

2. Umrechnung der Planetenposition und der Erdposition in heliozentrische X Y Z Orthogonalkoordinaten. (Z entfällt bei der Erde)

3. Transformation von heliozentrischen Orthogonalkoordinaten auf geozentrische Orthogonalkoordinaten durch Subtraktion der respektiven X Y Z Komponenten von Planet und Erde. (Vorzeichen der Koordinaten unbedingt beachten!, Zeichnung)

4. Der Rest ist sphärische Trigonometrie.
Umrechnung der geozentrischen Orthogonalkoordinaten in Winkelkoordinaten bezüglich der Ekliptik. Umrechnung in geozentrische Äquatorialkoordinaten mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie. (Das sind ziemlich heftige Formeln).

Das Ergebnis ist der Ort des Planeten in Rektaszension und Deklination.

Wenn man Ephemeriden erstellen will, dann programmiert man das am besten herunter.

Mathlab, Mathematica und Excel sind da eher weniger geeignet, obwohl es mit Excel geht, da man dort in Formelzellen iterieren kann, was für die Keplergleichung nötig ist.

Das praktisch größte Problem besteht darin, die Vorzeichen im Auge zu behalten, sonst kommt Müll raus.

Auch die Keplergleichung macht Schwierigkeiten, da sie an einer bestimmten Stelle immer schlechter konvergiert.

MfG
Larry

Nachtrag:
Sehe gerade, dass Du bisher nur die Erbahn berechnet hast.
Mein Beitrag beschreibt die Berechnung von Planetenstellungen im allgemeinen.

Hallo Larry,

das ist ja schön, wie du das zu erklären versuchst, aber leider auch praxisfern. Zeichnungen, heftige Formeln, Vorzeichen im Auge behalten und viele Programmiersprachen sind gar nicht nötig. Auch die Konvergenz der Keplergleichung ist kein Problem, wenn man iterativ richtig zu Werke geht.

Hallo, weiter geht´s.

Nach der Berechnung der ekliptikalen Koordinaten folgt die Umrechnung ins geozentrisch ekliptikale KOS. Dazu benötigt man auch die heliozentrischen Erdkoordinaten. Auf keinen Fall solltest du jetzt in kartesische Koordinaten umwandeln!

Ich habe heute morgen die Formeln noch einmal hergeleitet. Für die geoz.ekl.Breite bet und Länge lam gilt:

bet=arcsin{[r*sin(b)-R*sin(B)]/delta}

tan(lam/2)= [r*cos(b)*sin(l)-R*cos(B)*sin(L)]/[delta*cos(bet)+r*cos(b)*cos(l)-R*cos(B)*cos(L)]

Wie oben erhälst du automatisch -180°<lam<180° ohne Quadrantenproblem!

R,B,L: heliozentrisch ekliptikale Erdkoordinaten
delta,lam,bet:geozentrisch ekliptikale Planetenkoordinaten
r,b,l:heliozentrisch ekliptikale Planetenkoordinaten

Schöne Grüße, Volker.

...habe doch glatt delta vergessen:

delta=sqr{r^2+R^2-2*r*R*[cos(b)*cos(B)*cos(l-L)+sin(b)*sin(B)]}

Den dritten Teil mit den endgültigen Formeln zu Rektaszension und Deklination habe ich jetzt auch noch mal hergeleitet. Kommt später. Übrigens erreiche ich mit aktuellen Bahnelementen Genauigkeiten <5" !

Schöne Grüße, Volker.

Hallo Daniel,

hier die letzten Formeln:

se:Schiefe der Ekliptik
dk:Deklination
ra:Rektaszension

dk=arcsin{sin(se)*cos(bet)*sin(lam)+cos(se)*sin(bet)}

tan(ra/2)=[cos(se)*cos(bet)*sin(lam)-sin(se)*sin(bet)]/[cos(dk)+cos(bet)*cos(lam)]

Wie stets: -180°<ra<180° ohne Quadrantenproblem! Bei negativen Werten können 360° addiert werden.

Grüße, Volker.

Du hast 2 Formeln, einmal mit sin(l-ak), einmal mit cos(l-ak). Dich interessiert die Größe l, mit beiden Formeln lässt sie sich jedoch nicht eindeutig auflösen (Fallunterscheidungen). Also berechnest du tan((l-ak)/2)=... und erhälst l-ak ohne Fallunterscheidungen.

Diesen kleinen mathematischen Trick habe ich in den folgenden Umformungen für lam und ra auch verwendet.

Ich schreibe es kurz für dich um und poste es dann.

Grüße, Volker.

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">...hier noch die Umrechnung Bahnebene-&gt;heliozentrisch ekliptikal:

cos(b)*cos(l-ak)=cos(u); ak:Länge des aufst.Knotens
cos(b)*sin(l-ak)=sin(u)*cos(i)
sin(b)=sin(u)*sin(i)<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
Umgeformt ergibt sich:

b=arcsin{sin(u)*sin(i)}

tan[(l-ak)/2]=[sin(u)*cos(i)]/[cos(b)+cos(u)]

Mit diesem kleinen Trick bekommst du nach dem Auflösen der Gleichung sofort (l-ak), und zwar ohne Fallunterscheidungen als -180°&lt;(l-ak)&lt;180°! ak ist ja als Bahnelement bekannt und wird zum Schluss hinzuaddiert. Alles klar?

Schöne Grüße, Volker. [;)]

Hallo voda,

Ich habe kurz überflogen, was Du aufgeschrieben hast.

Ich glaube nicht, dass die äquatoriale Subtraktion der respektiven Positionen Planet Erde zum Schluss Deiner Rechnung das richtige Ergebnis liefert.

Ich glaube, Du musst vorher heliozentrisch orthog. subtrahieren.

Der von mir aufgezeigte Weg führt mit Sicherheit zum richtigen Ergebnis, schon deshalb, weil die Richtigkeit unmittelbar einsichtig ist.

Ich empfehle Dir daher mit Beispieldaten einmal auf Deinem Weg zu transformieren, und dann mit dem von mir aufgezeigten Weg.

Wenn die Ergebnisse nicht übereinstimmen, ist Dein Rechnungsweg falsch.

MfG
Larry

Hallo Daniel,

du hast jetzt alle nötigen Umformungen (die steuern übrigens mein selbstgeschriebenes Planetariumprogramm seit über 10 Jahren), trotz allem habe ich alle noch mal neu hergeleitet.

Ich hoffe, keinen Tippfehler gemacht zu haben, da ich heute morgen nur eine Tasse Tee hatte. [:D]

Viel Spaß beim Rechnen, Volker.

Noch eine Anmerkung zu den Formeln:

Wenn man nicht absolut korrekt rechnen muss (wie beispielsweise bei der VSOP87-Planetentheorie), kann man die heliozentrisch ekliptikale Breite B der Erde gleich Null setzen. Die Formeln verkürzen sich dann entsprechend.

Grüße, Volker.

Hallo Daniel,

lass dir Zeit! Bei Vergleichen auch auf die Epoche der Bahnelemente achten (2000.0 oder aktuell). Programme wie RedShift oder Stellarium arbeiten meist mit einer mehr oder weniger verkürzten numerischen VSOP87-Version. Auch Kommastellen in diesen Programmen deuten nicht auf die entsprechende Genauigkeit! GUIDE 9.0 rechnet (auf Wunsch anklickbar) mit den kompletten VSOP87-Termen (viele tausend!).

Gut sind tabellarische oskulierende Bahnelemente, besonders für Jupiter und Saturn, die beim Zweikörperproblem Störungen schon berücksichtigen. Für die Elemente der Planeten Merkur bis Mars kann man vernünftige Bahnelemente auch zeitlich als Gleichung entwickeln. Bei meinem Programm komme ich so bis fast zur Bogensekundengenauigkeit. Ich bin jedoch zur Zeit dabei, eine verkürzte VSOP87-Version zu implementieren, um nicht immer die aktuellsten Bahnelemente einbauen zu müssen.

Viel Spaß und schönes WE, Volker. [;)]

Hallo Daniel,

ich glaube, dein Problem liegt bei den Erdkoordinaten L, B und R. Sie müssen separat berechnet werden, bevor man die Formeln benutzt:

R=1-e*cos(E)

ich nenne die Länge des Perihels (omega mit Schlange) jetzt nur omega:

L=omega+2*atn(sqr((1+e)/(1-e))*tan(E/2))

B=0 (keine Bogensekundengenauigkeit erforderlich)

Die von dir verwendete Formel für l (ekliptikale Länge) ist für die Planeten (ohne Erde) hergeleitet. Sie berechnet l, wenn der Bahnebenenparameter u und die Bahnneigung i des Planeten bekannt sind. u=omega(ohne schlange)+wahre Anomalie v.

b[=arcsin(sin(u)*sin(i))] muss auch in diese Formel eingesetzt werden (ekliptikale Breite)

Dies hilft sicher weiter. Häufige Fehlerquellen: Verwechselung DEG-RAD im sin/cos, Klammerfehler, julianisches Datum falsch.

Wenn nichts mehr geht: liegenlassen, an einem anderen Tag nochmal drangehen, eine feine Tasse Tee, einen Mathe-Meister fragen (obwohl das Thema im Mathe-LK und sogar im Mathestudium für Naturwissenschaftler meist nicht berührt wird). [;)]

Schöne Grüße, Volker.

Hallo Daniel,

die ersten Anfänge gehen zurück bis in meine Studienzeit an einem C-64! An meinen aktuellen Programmen schreibe ich, wenn es nachts mal nicht klar ist in meiner Freizeit. Die Schreibzeit für mein Planetariumprogramm betrug etwa 10 Jahre. Eigener griechischer Zeichensatz, drei verschiedene Zahlensätze, alte Symbole für die Sternzeichen, alles vom Milimeterpapier in Matrizen übertragen, richtig was für echte Freaks, alles in Visual Basic 6. Da musst du das Rad fast immer wieder selbst erfinden, aber mit VB6 sind sehr gute Darstellungen des Sternenhimmels möglich.

Übrigens sind die Transformationsformeln die Ergebnisse der Anwendung von Drehmatrizen. Leichter wird´s also nicht.

Schöne Grüße, Volker.

Hallo Daniel!

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">Zitat:<hr height="1" noshade id="quote">Übrigens ist die Inklination der Ebene der Erde ebenfalls um i=0+0.0131*T. Als Bahnelemente verwende ich die von Montenbruck welche ab JD2000.0 gelten.<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote"></font id="quote">
Leider ist das nicht (ganz) richtig. Diese Bahnneigung der Erde gilt nur auf die Ekliptik 2000.0 bezogen. Es heißt nicht, dass diese Beziehung <i>ab</i> dem Jahr 2000 gilt. Es handelt sich hier um eine Standardepoche, um eine Norm zu finden, die mit Sternkarten der Epoche 2000.0 übereinstimmt. Vor 1984 war dies 1950.0. Für eine korrekte Ephemeride müssen Bahnelemente der <i>gleichen</i> Standardepoche verwendet werden. Für die Ekliptik des Datums gilt für die Erde stets: i=0°

Wenn du mit i ungleich 0° rechnest, ist natürlich B=arcsin(sin(u)*sin(i))

Schöne Grüße, Volker. [:)]